生物数学中的基因表达随机模型 基因表达随机模型是描述细胞内基因表达过程中随机波动（噪声）的数学框架。我将从基础概念开始，逐步深入其数学原理、模型类型和应用。 基因表达随机性的来源 ：基因表达涉及转录（DNA到mRNA）和翻译（mRNA到蛋白质）等生化反应，这些反应依赖于随机碰撞的分子（如RNA聚合酶、核糖体）。由于分子数量少、反应速率随机，基因表达水平会呈现随机波动，而非确定值。这种随机性可能影响细胞功能，例如导致同基因细胞群体的表型差异。 随机过程的数学基础 ：随机模型常用连续时间马尔可夫过程描述。每个反应（如mRNA生成）被视为随机事件，其发生概率由反应速率常数决定。例如，mRNA的生成可能遵循泊松过程，但实际系统中多个反应耦合，需用更复杂的随机微分方程或主方程（Master Equation）建模。 核心模型：两阶段表达模型 ：这是最经典的随机模型，将基因表达分为转录和翻译两阶段。设mRNA分子数（(M)）和蛋白质分子数（(P)）为随机变量，模型用反应速率描述其动态： 转录：(\emptyset \xrightarrow{k_ m} M)（速率常数(k_ m)） mRNA降解：(M \xrightarrow{\gamma_ m} \emptyset)（降解率(\gamma_ m)） 翻译：(M \xrightarrow{k_ p} M + P)（速率常数(k_ p)） 蛋白质降解：(P \xrightarrow{\gamma_ p} \emptyset)（降解率(\gamma_ p)） 系统的概率分布(P(M,P,t))随时间变化由主方程刻画： \[ \frac{dP}{dt} = k_ m[ P(M-1,P,t)-P(M,P,t)] + \gamma_ m[ (M+1)P(M+1,P,t)-MP(M,P,t)] + k_ p M[ P(M,P-1,t)-P(M,P,t)] + \gamma_ p[ (P+1)P(M,P+1,t)-PP(M,P,t) ] \] 该方程求解复杂，常需近似方法。 分析方法与近似解 ： 矩方程 ：通过主方程推导均值、方差等统计量的微分方程。例如，mRNA的均值(\langle M \rangle)满足(\frac{d\langle M \rangle}{dt} = k_ m - \gamma_ m \langle M \rangle)，方差则揭示噪声大小。 线性噪声近似（LNA） ：当分子数较多时，将系统近似为高斯过程，噪声方差可通过线性化反应速率计算。 福克-普朗克方程 ：将主方程转化为概率密度的偏微分方程，适用于连续近似。 扩展模型与生物应用 ： 基因开关 ：引入反馈机制（如蛋白质抑制自身转录），模型可呈现双稳态，随机性导致状态切换。 爆发式表达 ：实验显示基因表达常呈随机爆发（如转录一次生成多个mRNA），可用复合泊松过程建模。 单细胞数据拟合 ：利用随机模型推断单细胞RNA测序数据中的参数，量化细胞异质性。 通过这些步骤，随机模型将生物过程的随机性转化为可量化的数学对象，助于理解细胞决策、疾病机制等。