量子力学中的Schrödinger表示 量子力学中的Schrödinger表示是量子系统的一种基本数学描述方式，其核心思想是将物理系统的状态表示为希尔伯特空间中的波函数，并通过算符作用于波函数来刻画物理量的测量与演化。下面逐步展开这一概念。 1. 波函数与状态空间 波函数 \( \psi(x) \) 是系统状态的数学表示，通常定义在位置空间 \( \mathbb{R}^n \) 上，满足平方可积条件： \[ \int |\psi(x)|^2 \, dx < \infty. \] 所有波函数构成一个希尔伯特空间 \( L^2(\mathbb{R}^n) \)，内积定义为： \[ \langle \phi, \psi \rangle = \int \phi^* (x) \psi(x) \, dx. \] 波函数的模方 \( |\psi(x)|^2 \) 解释为粒子在位置 \( x \) 处的概率密度。 2. 算符的表示 在Schrödinger表示中： 位置算符 \( \hat{x} \) 直接作用于波函数： \[ (\hat{x} \psi)(x) = x \psi(x). \] 动量算符 \( \hat{p} \) 通过微分表示： \[ (\hat{p} \psi)(x) = -i \hbar \frac{d}{dx} \psi(x). \] 更一般的物理量由自伴算符描述，其本征值对应测量可能结果。 3. 时间演化与Schrödinger方程 系统随时间演化由含时Schrödinger方程描述： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \hat{H} \psi(x,t), \] 其中 \( \hat{H} \) 是哈密顿算符（系统的能量算符）。若 \( \hat{H} \) 不显含时间，解可写为： \[ \psi(x,t) = e^{-i \hat{H} t / \hbar} \psi(x,0), \] 其中 \( e^{-i \hat{H} t / \hbar} \) 是时间演化算符，保持波函数的归一化。 4. 与海森堡表示的对比 Schrödinger表示 中，算符固定（如 \( \hat{x}, \hat{p} \) 不随时间变化），状态波函数随时间演化。 海森堡表示 中，波函数固定，算符随时间演化（满足海森堡运动方程）。 两种表示通过酉变换等价，物理预言一致。 5. 数学严格性要求 算符需定义在合适的稠密子空间上（如 \( \hat{p} \) 作用于索伯列夫空间 \( H^1(\mathbb{R}) \)），以避免无界算符的定义域问题。 哈密顿算符的自伴性通过边界条件（如Dirichlet条件）或扰动理论（如Kato-Rellich定理）保证。 6. 应用示例：一维谐振子 哈密顿算符为 \( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 \)。在Schrödinger表示中，通过求解本征方程 \( \hat{H} \psi_ n = E_ n \psi_ n \)，得到离散能级 \( E_ n = \hbar \omega (n+\frac{1}{2}) \) 和对应的厄米特函数波函数。 通过以上步骤，Schrödinger表示将量子系统的概率诠释、动力学和算符代数统一在波函数框架下，成为量子力学最直观的数学表述之一。