可测函数序列的几乎处处收敛与依测度收敛的关系

字数 1712 2025-11-03 00:19:42

可测函数序列的几乎处处收敛与依测度收敛的关系

我将为您讲解实变函数中关于可测函数序列两种重要收敛方式的关系。让我们从基本概念开始，逐步深入。

第一步：两种收敛方式的定义

设$(X,\mathcal{F},\mu)$是一个测度空间，$\{f_n\}$和$f$是定义在$X$上的可测函数。

几乎处处收敛：称$f_n$几乎处处收敛于$f$，如果存在零测集$N$，使得对所有$x \in X\setminus N$，都有$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。记作$f_n \to f$ a.e.
依测度收敛：称$f_n$依测度收敛于$f$，如果对任意$\varepsilon>0$，有$\lim_{n\to\infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|>\varepsilon\})=0$。记作$f_n \xrightarrow{\mu} f$。

第二步：几乎处处收敛推不出依测度收敛的例子

在无限测度空间中，几乎处处收敛不一定蕴含依测度收敛。考虑：

$X=\mathbb{R}$，$\mu$为勒贝格测度
定义$f_n(x)=1_{[n,n+1]}(x)$（区间$[n,n+1]$的示性函数）

则$f_n \to 0$ a.e.（对每个固定的$x$，当$n$足够大时$f_n(x)=0$），但对$\varepsilon=1/2$，有：

\[\mu(\{x:|f_n(x)-0|>1/2\})=\mu([n,n+1])=1 \nrightarrow 0 \]

第三步：有限测度空间中的关系（勒贝格定理）

当$\mu(X)<\infty$时，几乎处处收敛蕴含依测度收敛。证明思路如下：

对任意$\varepsilon>0$，定义集合：

\[E_n(\varepsilon)=\{x:|f_n(x)-f(x)|>\varepsilon\} \]

\[F_k(\varepsilon)=\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n(\varepsilon) \]

由于$f_n \to f$ a.e.，有$\mu\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k(\varepsilon)\right)=0$。由测度的上连续性：

\[\lim_{k\to\infty}\mu(F_k(\varepsilon))=\mu\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k(\varepsilon)\right)=0 \]

而$E_n(\varepsilon) \subset F_n(\varepsilon)$，故$\mu(E_n(\varepsilon)) \leq \mu(F_n(\varepsilon)) \to 0$。

第四步：里斯定理——依测度收敛的子序列性质

如果$f_n \xrightarrow{\mu} f$，则存在子序列$\{f_{n_k}\}$使得$f_{n_k} \to f$ a.e.

证明要点：对每个$k$，取$n_k$使得：

\[\mu\left(\left\{x:|f_{n_k}(x)-f(x)|>\frac{1}{2^k}\right\}\right)<\frac{1}{2^k} \]

令$E_k=\{|f_{n_k}-f|>1/2^k\}$，则$\sum\mu(E_k)<\infty$。由博雷尔-坎泰利引理，几乎每个$x$只属于有限个$E_k$，从而$f_{n_k}(x) \to f(x)$。

第五步：完备化关系

综合以上结果，在有限测度空间中，$f_n \to f$ a.e. 当且仅当$f_n$的每个子序列都包含一个几乎处处收敛于$f$的子子序列。这给出了两种收敛方式的等价刻画。

第六步：应用意义

这种关系在分析中非常重要，因为：

几乎处处收敛更直观但较难处理
依测度收敛较弱但具有更好的极限性质
通过子序列论证，可以在两种收敛间灵活转换

例如在勒贝格积分理论中，经常先证明依测度收敛，再通过子序列得到几乎处处收敛的结果。

可测函数序列的几乎处处收敛与依测度收敛的关系我将为您讲解实变函数中关于可测函数序列两种重要收敛方式的关系。让我们从基本概念开始，逐步深入。第一步：两种收敛方式的定义设$(X,\mathcal{F},\mu)$是一个测度空间，$\{f_ n\}$和$f$是定义在$X$上的可测函数。几乎处处收敛：称$f_ n$几乎处处收敛于$f$，如果存在零测集$N$，使得对所有$x \in X\setminus N$，都有$\lim_ {n\to\infty}f_ n(x)=f(x)$。记作$f_ n \to f$ a.e. 依测度收敛：称$f_ n$依测度收敛于$f$，如果对任意$\varepsilon>0$，有$\lim_ {n\to\infty}\mu(\{x:|f_ n(x)-f(x)|>\varepsilon\})=0$。记作$f_ n \xrightarrow{\mu} f$。第二步：几乎处处收敛推不出依测度收敛的例子在无限测度空间中，几乎处处收敛不一定蕴含依测度收敛。考虑： $X=\mathbb{R}$，$\mu$为勒贝格测度定义$f_ n(x)=1_ {[ n,n+1]}(x)$（区间$[ n,n+1 ]$的示性函数）则$f_ n \to 0$ a.e.（对每个固定的$x$，当$n$足够大时$f_ n(x)=0$），但对$\varepsilon=1/2$，有： $$\mu(\{x:|f_ n(x)-0|>1/2\})=\mu([ n,n+1 ])=1 \nrightarrow 0$$ 第三步：有限测度空间中的关系（勒贝格定理）当$\mu(X) <\infty$时，几乎处处收敛蕴含依测度收敛。证明思路如下：对任意$\varepsilon>0$，定义集合： $$E_ n(\varepsilon)=\{x:|f_ n(x)-f(x)|>\varepsilon\}$$ $$F_ k(\varepsilon)=\bigcup_ {n=k}^{\infty}E_ n(\varepsilon)$$ 由于$f_ n \to f$ a.e.，有$\mu\left(\bigcap_ {k=1}^{\infty}F_ k(\varepsilon)\right)=0$。由测度的上连续性： $$\lim_ {k\to\infty}\mu(F_ k(\varepsilon))=\mu\left(\bigcap_ {k=1}^{\infty}F_ k(\varepsilon)\right)=0$$ 而$E_ n(\varepsilon) \subset F_ n(\varepsilon)$，故$\mu(E_ n(\varepsilon)) \leq \mu(F_ n(\varepsilon)) \to 0$。第四步：里斯定理——依测度收敛的子序列性质如果$f_ n \xrightarrow{\mu} f$，则存在子序列$\{f_ {n_ k}\}$使得$f_ {n_ k} \to f$ a.e. 证明要点：对每个$k$，取$n_ k$使得： $$\mu\left(\left\{x:|f_ {n_ k}(x)-f(x)|>\frac{1}{2^k}\right\}\right) <\frac{1}{2^k}$$ 令$E_ k=\{|f_ {n_ k}-f|>1/2^k\}$，则$\sum\mu(E_ k)<\infty$。由博雷尔-坎泰利引理，几乎每个$x$只属于有限个$E_ k$，从而$f_ {n_ k}(x) \to f(x)$。第五步：完备化关系综合以上结果，在有限测度空间中，$f_ n \to f$ a.e. 当且仅当$f_ n$的每个子序列都包含一个几乎处处收敛于$f$的子子序列。这给出了两种收敛方式的等价刻画。第六步：应用意义这种关系在分析中非常重要，因为：几乎处处收敛更直观但较难处理依测度收敛较弱但具有更好的极限性质通过子序列论证，可以在两种收敛间灵活转换例如在勒贝格积分理论中，经常先证明依测度收敛，再通过子序列得到几乎处处收敛的结果。