数值双曲型方程的WENO格式 1. 基本概念 WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）格式是一种用于双曲型守恒律方程的高阶精度数值方法，特别适用于含有间断（如激波）的解。其核心思想是通过对多个候选模板上的重构多项式进行非线性加权，在光滑区域达到高阶精度，在间断附近自动降阶以避免非物理振荡。 2. 核心构造原理 WENO格式的构造分为三个步骤： 模板选择 ：在计算单元附近选取多个重叠的小模板（如三个三点的模板）。 多项式重构 ：在每个模板上构造低阶插值多项式，得到不同的候选近似值。 非线性加权 ：根据每个模板上解的光滑度指标，为各候选近似值分配权重。光滑模板的权重大，非光滑模板的权重小，最终加权平均得到高阶无振荡近似。 3. 光滑度指标与权重计算 光滑度指标用于量化解在某个模板上的变化剧烈程度。以函数u(x)为例，在模板I_ k上的光滑度指标IS_ k通常定义为该模板上重构多项式导数的平方积分（衡量“总变差”）。权重ω_ k的计算公式为： ω_ k = α_ k / (Σα_ i)，其中α_ k = C_ k / (ε + IS_ k)^p。 这里C_ k是理想权重（光滑区域的目标系数），ε是防止除零的小正数，p是控制权重敏感度的指数。 4. 五阶WENO格式（WENO5） 以经典WENO5为例，其在均匀网格上使用三个三点模板： 每个模板上构造二次插值多项式，得到三个三阶精度的候选通量近似。 通过非线性加权组合，在光滑区域达到五阶精度，在间断附近自动降阶至三阶，但保持基本无振荡。 5. 数值通量重构 WENO格式通常用于空间离散，需结合时间推进方法（如Runge-Kutta法）。以守恒形式的一维方程∂u/∂t + ∂f(u)/∂x=0为例，WENO格式通过重构单元界面处的数值通量f_ {i+1/2}来近似空间导数，确保离散格式的守恒性。 6. 收敛性与稳定性分析 理论分析表明WENO格式在光滑解区域具有设计阶的收敛速度，在间断处满足熵条件，避免非物理解。其稳定性依赖于CFL条件，时间步长需与空间离散精度匹配。加权机制中的参数（如ε、p）会影响格式的耗散性和收敛性。 7. 高维扩展与复杂应用 WENO格式可推广到多维问题（如通过维度分裂或直接多维重构），并应用于复杂流体力学方程（如Euler方程、Navier-Stokes方程）。在激波-湍流相互作用、可压缩流动等涉及多尺度结构和强间断的问题中表现出色。 8. 发展变体与优化 后续发展包括WENO-Z（改进权重计算以减少耗散）、紧致WENO（减少模板宽度）、自适应阶数WENO（动态调整精度）等变体，进一步平衡计算效率、精度和鲁棒性。