复变函数的积分表示 复变函数的积分表示是复分析中的核心内容，它揭示了解析函数可以通过某种积分形式来表达，这深刻地反映了函数的局部性质与其整体性质之间的联系。最经典的例子就是柯西积分公式。 基本思想回顾 你已经学习过柯西积分定理：如果一个函数在一个单连通区域内解析，那么它沿区域内任意一条闭合曲线的积分都为零。柯西积分公式是这一定理的直接推论，它指出：如果一个函数 f(z) 在一个简单闭合曲线 C 及其内部所围成的区域上解析，那么对于 C 内部的任意一点 z₀，函数在该点的值可以由它在边界 C 上的值通过一个积分来表示： f(z₀) = (1/(2πi)) ∮_ C (f(z)/(z - z₀)) dz 这个公式的意义在于，一个解析函数在其定义域内任意一点的值，完全由它在边界上的值所决定。这是一种非常强的“内在关联性”。 柯西积分公式的推广 柯西积分公式不仅可以给出函数本身的值，还可以通过形式微分（对被积函数中的参数 z₀ 求导）来得到函数各阶导数的积分表示。具体地，f(z) 在 z₀ 处的 n 阶导数为： f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/(2πi)) ∮_ C (f(z)/(z - z₀)ⁿ⁺¹) dz 这个公式表明，解析函数不仅自身是无限可微的，而且它的任意阶导数也都可以用边界上的函数值来表示。这进一步加强了解析函数的“刚性”——局部和整体的高度统一。 积分表示的更一般形式：柯西型积分 现在，我们考虑一个更一般的概念。设 C 是一条简单光滑闭合曲线，φ(ζ) 是定义在 C 上的一个连续复函数（注意，φ(ζ) 本身不一定是某个解析函数的边界值）。我们定义一个新的函数 F(z)： F(z) = (1/(2πi)) ∮_ C (φ(ζ)/(ζ - z)) dζ 这个函数 F(z) 被称为 柯西型积分 。这里 z 是复平面上的点，并且我们要求 z 不在曲线 C 上。 当 z 在 C 的外部时，被积函数关于 ζ 在 C 上是解析的，根据柯西定理，F(z) = 0。 当 z 在 C 的内部时，情况就变得非常有趣。可以证明，由这个积分定义的函数 F(z) 在 C 的内部是解析的。也就是说，即使我们只知道边界 C 上一个“任意”的连续函数 φ(ζ)，我们也能通过这个积分在 C 的内部“生成”一个解析函数。 边界性质与普莱梅尔-普里瓦洛夫定理 一个关键问题是：当点 z 从内部任意接近边界 C 上的某一点 ζ₀ 时，由柯西型积分定义的解析函数 F(z) 的极限值是多少？这个极限值是否等于定义积分时所用的边界函数值 φ(ζ₀)？ 答案并非总是肯定的。普莱梅尔-普里瓦洛夫定理给出了这个问题的精确解答。该定理指出，如果边界曲线 C 是光滑的（例如，具有连续转动的切线），并且边界函数 φ(ζ) 满足赫尔德条件（即 |φ(ζ₁) - φ(ζ₂)| ≤ M|ζ₁ - ζ₂|^μ, 其中 M 和 μ 是常数，0 <μ≤1），那么柯西型积分 F(z) 在区域内部和外部都存在边界值。 更具体地说，当 z 从内部趋于 ζ₀ 时，F(z) 的极限值 F⁺(ζ₀) 等于 (1/2)φ(ζ₀) + (1/(2πi)) P.V. ∮_ C (φ(ζ)/(ζ - ζ₀)) dζ。 当 z 从外部趋于 ζ₀ 时，极限值 F⁻(ζ₀) 等于 - (1/2)φ(ζ₀) + (1/(2πi)) P.V. ∮_ C (φ(ζ)/(ζ - ζ₀)) dζ。 这里的 P.V. 表示柯西主值积分。这两个公式相减，得到索霍茨基-普莱梅尔公式：F⁺(ζ₀) - F⁻(ζ₀) = φ(ζ₀)。这揭示了边界函数 φ(ζ) 实际上是解析函数 F(z) 在穿过边界 C 时的“跳跃”。 积分表示的应用意义 积分表示理论是求解边值问题的强大工具。例如，在物理学和工程学中常见的狄利克雷问题（在区域内给定一个调和函数在边界上的值，求区域内的调和函数）和诺伊曼问题，都可以通过构造适当的积分表示（如泊松积分）来解决。此外，这一理论也是奇异积分算子和解析函数边值问题研究的基石。 综上所述，复变函数的积分表示从一个深刻的公式（柯西积分公式）出发，推广到更一般的构造（柯西型积分），并深入研究其边界行为，最终成为连接函数论与偏微分方程、数学物理等领域的重要桥梁。