勒贝格-斯蒂尔杰斯积分 基本概念与动机 勒贝格-斯蒂尔杰斯积分是勒贝格积分的推广，它引入了一个单调递增函数 \( g(x) \) 来赋予积分过程不同的权重。其核心思想是：在勒贝格测度（对应区间长度）的基础上，通过 \( g(x) \) 描述质量、概率或能量的非均匀分布。例如，若 \( g(x) \) 是概率分布的累积分布函数，则该积分可计算随机变量的期望值。 生成测度：勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 给定右连续单调递增函数 \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)，可定义区间 \( I = (a, b ] \) 的测度为： \[ \mu_ g(I) = g(b) - g(a). \] 通过卡拉西奥多里延拓定理，该测度可唯一延拓到由区间生成的σ-代数上（即博雷尔集类），称为 勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 。若 \( g(x) = x \)，则还原为勒贝格测度。 积分的定义 对非负可测函数 \( f \)，其勒贝格-斯蒂尔杰斯积分定义为： \[ \int f \, d\mu_ g = \sup \left\{ \int \phi \, d\mu_ g : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{为简单函数} \right\}, \] 其中简单函数的积分按加权和计算：若 \( \phi = \sum c_ i \chi_ {E_ i} \)，则 \( \int \phi \, d\mu_ g = \sum c_ i \mu_ g(E_ i) \)。一般函数可分解为正值与负值部分处理。 与黎曼-斯蒂尔杰斯积分的关系 当 \( f \) 连续且 \( g \) 单调时，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与黎曼-斯蒂尔杰斯积分等价，但前者适用于更广泛的函数类（如不可测点集不影响结果）。黎曼-斯蒂尔杰斯积分的达布和收敛性实质是勒贝格积分理论的特殊情形。 关键性质 线性性 ：对常数 \( a, b \)，有 \( \int (af + bh) \, d\mu_ g = a \int f \, d\mu_ g + b \int h \, d\mu_ g \)。 单调性 ：若 \( f \leq h \)，则 \( \int f \, d\mu_ g \leq \int h \, d\mu_ g \)。 控制收敛定理 ：若 \( |f_ n| \leq F \) 且 \( F \) 可积，则 \( \lim \int f_ n \, d\mu_ g = \int \lim f_ n \, d\mu_ g \)。 应用场景 概率论 ：若 \( g \) 是累积分布函数，则 \( \int f \, d\mu_ g \) 表示随机变量的期望。 物理学 ：描述非均匀介质中的质量分布或电荷密度。 泛函分析 ：为里斯表示定理提供具体测度表示（如函数空间上的连续线性泛函）。 与勒贝格-拉东-尼科迪姆定理的联系 若 \( \mu_ g \) 关于勒贝格测度绝对连续，则存在密度函数 \( h \) 满足 \( d\mu_ g = h \, dx \)，此时勒贝格-斯蒂尔杰斯积分可化为勒贝格积分 \( \int f h \, dx \)。