圆的渐屈线与渐伸线的微分几何关系（续） 回顾基本概念 在微分几何中，平面曲线 \( C \) 的 渐屈线 定义为曲率中心的轨迹，而 渐伸线 是满足“切线长度等于弧长差”的曲线。若 \( C \) 的弧长参数为 \( s \)，曲率半径为 \( \rho(s) \)，则渐屈线方程为： \[ E(s) = \mathbf{r}(s) + \rho(s) \mathbf{n}(s), \] 其中 \( \mathbf{r}(s) \) 是 \( C \) 上点的位置向量，\( \mathbf{n}(s) \) 是单位法向量。 渐伸线的微分几何构造 对渐屈线 \( E(s) \)，其渐伸线族由以下参数方程给出： \[ I_ {\lambda}(s) = E(s) + (\lambda - s) \mathbf{t}_ E(s), \] 其中 \( \mathbf{t}_ E(s) \) 是渐屈线的单位切向量，\( \lambda \) 为常数。当 \( \lambda = 0 \) 时，得到的渐伸线即为原曲线 \( C \)。 曲率关系的深化 若原曲线 \( C \) 的曲率为 \( \kappa(s) \)，则其渐屈线 \( E(s) \) 的曲率 \( \kappa_ E(s) \) 满足： \[ \kappa_ E(s) = \frac{1}{|\rho'(s)|}, \] 其中 \( \rho'(s) = \frac{d}{ds}(1/\kappa(s)) \)。这表明渐屈线的奇点（如尖点）对应原曲线的曲率极值点。 自然方程与唯一性 曲线的 自然方程 定义为曲率关于弧长的函数 \( \kappa = \kappa(s) \)。渐屈线与原曲线共享相同的自然方程（符号可能相反），因此渐屈线决定了原曲线在刚体运动下的唯一性。 渐伸线的等距性质 渐屈线的所有渐伸线是 平行曲线 ，即它们之间的法向距离为常数。这一性质源于渐伸线构造中切线方向的平移，体现了欧氏几何中的等距变换。 应用示例：圆的渐屈线 圆的渐屈线退化为一个点（圆心），但其渐伸线为同心圆弧。这反映了圆曲率恒定的特性，与一般曲线的渐屈线-渐伸线关系形成对比。