Galois扩张 Galois扩张是域论中的重要概念，它描述了域扩张所具有的对称性。我将从基础概念开始，逐步解释其定义、性质及核心定理。 1. 域扩张的回顾 一个域扩张 \( L/K \) 指域 \( L \) 包含子域 \( K \)。例如，复数域 \(\mathbb{C}\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 的扩张。扩张的次数记为 \([ L:K]\)，表示 \( L \) 作为 \( K\)-向量空间的维数。若 \([ L:K] < \infty\)，称为有限扩张。 2. 自同构群 域 \( L \) 的自同构是保持加法和乘法的双射 \(\sigma: L \to L\)。所有 \( K\)-自同构（即固定 \( K \) 中元素的同构 \(\sigma: L \to L\)）构成一个群，称为扩张 \( L/K \) 的 自同构群 ，记为 \(\operatorname{Aut}(L/K)\)。例如，\(\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\) 由恒等映射和复共轭组成，同构于二阶循环群。 3. Galois群的定义 若 \( L/K \) 是有限扩张，其 Galois 群定义为自同构群 \(\operatorname{Aut}(L/K)\)，记为 \(\operatorname{Gal}(L/K)\)。但并非所有扩张都满足 \(\operatorname{Gal}(L/K)\) 的阶等于 \([ L:K ]\)。为此需引入正规性和可分性。 4. 正规扩张 若 \( L/K \) 的每个不可约多项式 \( f(x) \in K[ x ] \) 在 \( L \) 中有一个根时，其所有根都在 \( L \) 中（即 \( L \) 是 \( f(x) \) 的分裂域），则称 \( L/K \) 为正规扩张。这保证了自同构群能充分作用：所有 \( K\)-嵌入 \( L \to \overline{K}\)（代数闭包）实际上是 \( L \) 的自同构。 5. 可分扩张 若 \( L/K \) 中每个元素的极小多项式没有重根（在代数闭包中），则称扩张可分。有限扩张可分当且仅当 \([ L:K] = |\operatorname{Hom}_ K(L, \overline{K})|\)，其中 \(\operatorname{Hom}_ K\) 表示 \( K\)-同态的数量。 6. Galois扩张的等价定义 有限扩张 \( L/K \) 是 Galois 扩张，当且仅当以下等价条件之一成立： 它是正规且可分的。 固定域 \( L^{\operatorname{Gal}(L/K)} = K \)，即被 Galois 群固定的元素恰为 \( K\)。 \(|\operatorname{Gal}(L/K)| = [ L:K ]\)。 7. 基本定理 若 \( L/K \) 是 Galois 扩张，Galois 群 \( G = \operatorname{Gal}(L/K) \) 的子群集合与中间域集合存在反序一一对应： 子群 \( H \subseteq G \) 对应固定域 \( L^H = \{ x \in L \mid \sigma(x)=x, \forall \sigma \in H \}\)。 中间域 \( K \subseteq M \subseteq L \) 对应子群 \(\operatorname{Gal}(L/M)\)。 此对应中，正规子群对应 Galois 中间扩张 \( M/K \)，且 \(\operatorname{Gal}(M/K) \cong G / \operatorname{Gal}(L/M)\)。 8. 例子：二次扩张 考虑 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)。它是正规的（因为 \(x^2-2\) 的根都在其中），可分（特征零），故为 Galois 群。群由恒等和 \(\sigma: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}\) 生成，同构于 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。中间域只有 \(\mathbb{Q}\) 和自身，对应平凡子群和全群。 9. 应用与推广 Galois 扩张是伽罗瓦理论的核心，用于解决方程根式可解性问题。无限维推广有无限 Galois 理论，需引入Krull拓扑。在数论中，Galois 群的结构反映了域的算术性质。