可逆与非可逆系统 基本定义 ：在遍历理论中，一个动力系统由一个概率空间 (X, B, μ) 和一个变换 T: X → X 构成。我们根据变换 T 是否可逆，将系统分为两类。 可逆系统 ：变换 T 是 一一对应 的（既是单射又是满射），并且其逆变换 T⁻¹ 也是可测的。此时，系统 (X, B, μ, T) 被称为可逆系统。一个等价的定义是 T 是 可逆保测变换 ，即 T 和 T⁻¹ 都保持测度 μ。 非可逆系统 ：变换 T 不是一一对应的。最常见的情况是 T 是 满射但非单射 （即“多对一”），因此不存在通常意义上的逆变换。这类系统也称为 不可逆系统 或 内生系统 。 可逆系统的特性与例子 ： 特性 ：在可逆系统中，时间可以向过去和未来两个方向对称地演化。动力学在 T 和 T⁻¹ 下是相同的。许多经典的哈密顿系统（如理想气体模型）和双曲系统（如阿诺索夫微分同胚）都是可逆的。 算子视角 ：可逆性在算子理论中表现为 等距性 。由 T 诱导的 Koopman 算子 Uₜ: f → f∘T 是希尔伯特空间 L²(X, μ) 上的一个 酉算子 ，即它满足 Uₜ* Uₜ = Uₜ Uₜ* = I（其中 Uₜ* 是 Uₜ 的伴随算子，对应于逆变换 T⁻¹）。酉算子保留了函数的内积和范数。 非可逆系统的特性与例子 ： 特性 ：非可逆系统描述了时间不对称的演化过程，其本质上是不可逆的。系统的演化会导致信息的“损失”或“模糊”，因为不同的初始状态可能被映射到同一个后续状态。这通常与 熵增加 和 不可逆的热力学过程 相关联。 例子 ： 马尔可夫链 ：具有非双随机转移概率矩阵的不可约马尔可夫链是非可逆系统的典型例子。系统的未来状态由当前状态概率性地决定，但无法唯一地确定其过去状态。 伯努利移位 ：虽然双边伯努利移位（考虑所有整数时间点）是可逆的，但单边伯努利移位（只考虑非负整数时间点）是非可逆的。在单边移位中，我们失去了序列“过去”的信息。 算子视角 ：对于非可逆系统，Koopman 算子 Uₜ 不再是酉算子，而是一个 等距算子 （满足 ⟨Uₜf, Uₜg⟩ = ⟨f, g⟩）或更一般的 压缩算子 。它的伴随算子 Uₜ* 不再对应于一个点变换的逆，而是对应于对前一个时间步的 条件期望 。 遍历理论中的意义 ： 可逆与非可逆的区分深刻影响了系统的遍历性质和其数学分析工具。 谱理论 ：酉算子的谱是对称的（位于复平面的单位圆上），而一般压缩算子的谱分析则更为复杂。 熵与信息 ：非可逆性是理解动力系统中信息产生和耗散的关键。科尔莫戈罗夫-西奈熵等概念在非可逆系统中同样有定义，并且可以量化系统产生新信息的速率。 物理应用 ：可逆系统通常对应保守的、能量守恒的物理系统（如经典力学）。而非可逆系统则更适用于描述耗散系统、不可逆热力学过程以及具有趋向平衡态行为的系统。