代数簇的有理函数域 基本概念引入 在代数几何中，代数簇的有理函数域是研究簇上“函数”的重要工具。对于一个不可约代数簇 \( X \)（例如仿射簇或射影簇），其有理函数域 \( K(X) \) 被定义为所有有理函数构成的域。这些有理函数局部表现为两个多项式的商，且在簇的大部分点上有定义。 具体定义与示例 若 \( X \) 是仿射簇，其坐标环为 \( A(X) \)（即多项式环模去定义 \( X \) 的理想）。由于 \( X \) 不可约，\( A(X) \) 是整环，其分式域即为 \( K(X) \)。例如，仿射直线 \( \mathbb{A}^1 \) 的有理函数域是单变量有理函数域 \( k(t) \)。 对于射影簇，有理函数需满足齐次性条件：若 \( f/g \) 是两个齐次多项式的商，且 \( \deg f = \deg g \)，则它在非零点集上有定义。 函数域的性质 \( K(X) \) 是域，包含簇的坐标环作为子环。 有理函数在稠密开集上有定义，两个有理函数若在某个开集上相等，则全局相等。 域 \( K(X) \) 的超越次数等于簇 \( X \) 的维数。例如，\( \mathbb{A}^n \) 的有理函数域 \( k(x_ 1, \dots, x_ n) \) 的超越次数为 \( n \)。 有理映射与函数域的关系 簇 \( X \) 到 \( Y \) 的有理映射可诱导 \( K(Y) \to K(X) \) 的域同态。反之，若 \( K(Y) \) 可嵌入 \( K(X) \)，则存在有理映射 \( X \dashrightarrow Y \)。 双有理等价的簇具有同构的有理函数域，因此 \( K(X) \) 是双有理不变量。 应用与推广 通过研究 \( K(X) \) 的子域结构，可分类代数簇的双有理几何。 在奇点理论中，函数域可用于定义簇的正规化。 对于非不可约簇，有理函数域需按不可约分支分别定义。