\*谱半径与谱理论\* 谱半径是算子理论中的基本概念，它量化了一个算子的谱集在复平面上的“范围”。让我们从基础开始。 第一步：线性算子的谱 设X是一个复巴拿赫空间，T: X → X是一个有界线性算子。算子T的谱，记作σ(T)，定义为所有使得(T - λI)不可逆（即不是双射或逆算子无界）的复数λ的集合。这里I是恒等算子。谱集是复平面上的一个非空紧子集。 第二步：谱半径的定义 对于一个有界线性算子T，其谱半径r(T)定义为： r(T) = sup{ |λ| : λ ∈ σ(T) } 也就是说，谱半径r(T)是谱点λ的模|λ|的上确界。直观上，它描述了谱集在复平面上所能到达的离原点最远的距离。 第三步：谱半径公式（Gelfand公式） 谱半径有一个极其重要且实用的计算公式，它不直接依赖于谱集本身，而是通过算子范数的极限来定义： r(T) = lim_ {n→∞} ||T^n||^{1/n} 这个公式表明，算子的谱半径可以通过计算其幂次范数的n次方根的极限来得到。这个极限总是存在的。这个公式将算子的谱特性（谱半径）与其代数特性（幂次的增长性）深刻地联系了起来。 第四步：谱半径的基本性质 对于任何有界算子T，有 0 ≤ r(T) ≤ ||T||。 如果T和S是可交换的算子（TS = ST），那么有 r(T+S) ≤ r(T) + r(S) 以及 r(TS) ≤ r(T) r(S)。 谱映射定理：如果p是一个复多项式，那么σ(p(T)) = p(σ(T))，并且有 r(p(T)) = sup{ |p(λ)| : λ ∈ σ(T) }。 第五步：谱半径的意义与应用 收敛性判据 ：在数值分析中，一个线性迭代法（形式为x_ {n+1} = Tx_ n + b）收敛的充分必要条件是谱半径r(T) < 1。这是线性方程组迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）收敛性分析的核心。 幂级数展开 ：对于算子的幂级数，其收敛半径恰好等于该算子谱半径的倒数。这与复分析中函数的幂级数展开有完美的类比。 谱理论的基础 ：谱半径是研究算子更精细谱性质（如本质谱半径）的起点，也是证明更深刻定理（如Gelfand-Mazur定理）的关键工具。 总结来说，谱半径是连接算子代数性质与谱几何性质的一个基本桥梁，它通过一个简洁的极限公式，将算子的动态特性（幂次行为）与其静态的谱结构紧密地联系在一起。