信用违约互换（CDS）的定价模型
字数 2520 2025-11-02 17:10:54

信用违约互换（CDS）的定价模型

好的，我们开始学习信用违约互换（CDS）的定价模型。这个模型是量化信用风险的核心工具，它告诉我们如何为一份CDS合约确定一个公平的价格（即保费率或利差）。

步骤1：重温核心概念与目标

首先，我们明确目标：为一份CDS合约定价，就是计算出使得合约在初始时刻价值为零的年度保费率，这个费率通常被称为CDS利差。

简单回顾CDS的结构：

  • 买方：定期向卖方支付一笔固定费用（即保费），以获取信用保护。
  • 卖方：承诺如果参考实体发生信用事件（如破产、违约），则向买方支付一笔补偿。
  • 关键要素：参考实体、名义本金、期限、保费支付频率。

定价模型的核心思想是风险中性定价：在风险中性测度下，合约所有未来现金流的期望现值之和应为零。即：
保护买方支付的保费现值 = 保护卖方支付的违约赔付现值

步骤2：构建模型的基本框架——现金流分析

我们将CDS的现金流分解为两条“腿”：

  1. 保费端：买方支付给卖方的现金流。

    • 在每一个保费支付日，只要参考实体尚未违约，买方就支付一笔费用。费用金额为 利差 × 名义本金 × accrual factor（计期因子）。
    • 如果违约发生在两个支付日之间，买方通常还需支付从上一个支付日到违约日的应计保费。

  2. 违约端/保护端：卖方支付给买方的现金流。

    • 当且仅当违约发生时，卖方支付一笔款项。这笔款项通常是 名义本金 × (1 - 回收率)。回收率是指违约后资产还能收回的价值比例。

步骤3：引入关键概率变量——生存概率与违约概率

要对未来的现金流进行贴现和求期望，我们需要知道违约事件发生的可能性。我们引入两个关键的时间函数：

  • 生存概率：参考实体从当前时刻到未来时间 t 仍然存活的概率，记为 S(t)。
  • 违约概率：参考实体在时间 t 之前违约的概率，记为 F(t) = 1 - S(t)。
  • 违约概率密度：参考实体在精确时间 t 发生违约的概率密度，记为 f(t) = dF(t)/dt = -dS(t)/dt。

这些概率通常从市场交易的其他信用衍生品（如不同期限的CDS）的价格中反向推导出来，这个过程称为校准。

步骤4：计算两条“腿”的现值

现在，我们在风险中性测度下，计算两条腿现金流的期望现值。假设无风险利率为 r，名义本金为1，CDS利差为 s，回收率为 R。

  1. 保费端现值：

    • 定期保费支付：每个支付日 t_i，支付发生的条件是参考实体存活到 t_i，其概率为 S(t_i)。因此，第 i 笔保费的现值为 s × Δt_i × DF(t_i) × S(t_i)，其中 Δt_i 是计期因子，DF(t_i) 是到时间 t_i 的贴现因子。
    • 应计保费：如果违约发生在时间 τ (介于 t_{i-1} 和 t_i 之间)，买方需支付从 t_{i-1} 到 τ 的应计费用。这需要用一个积分来表示，对所有可能的违约时间求期望：s × ∫ (从上次支付日到违约日的 accrual factor) × DF(τ) × f(τ) dτ。
    • 保费端总现值 PV_Premium ≈ s × Σ [Δt_i × DF(t_i) × S(t_i)]。在离散时间近似下，我们常忽略应计保费项以简化计算，但精确模型会包含它。

  2. 违约端现值：

    • 违约赔付：如果违约发生在时间 τ，卖方支付 (1-R)。这笔现金流的现值需要对所有可能的违约时间求期望：(1-R) × ∫ DF(τ) × f(τ) dτ。
    • 由于 f(τ) = -dS(τ)/dτ，我们可以通过分部积分得到另一种形式：(1-R) × ∫ DF(τ) × f(τ) dτ = -(1-R) × ∫ DF(τ) dS(τ)。
    • 违约端总现值 PV_Default = (1-R) × ∫_0^T DF(τ) f(τ) dτ。

步骤5：建立定价方程并求解利差

根据“收支现值相等”的原则，公平的利差 s 应满足：
PV_Premium = PV_Default

因此，我们可以解出利差 s：
s = PV_Default / PV_Premium

具体写出来就是：
s = [ (1-R) × ∫_0^T DF(τ) f(τ) dτ ] / [ Σ (Δt_i × DF(t_i) × S(t_i)) + (应计保费项) ]

这个公式就是CDS定价模型的核心。分母部分（保费端的现值）在市场上有一个专门的名称，叫做 风险久期 或 现值基点，它代表了1个基点的保费所带来的现值。因此，利差也可以理解为：利差 = 违约损失现值 / 风险久期。

步骤6：模型的实际应用与校准

在实际操作中，我们通常不是用这个公式去“计算”利差，而是用它来“校准”违约概率。

  1. 输入市场数据：我们从市场上观察到不同期限CDS的交易利差 s_market，以及无风险利率曲线。
  2. 假设违约概率模型：通常我们会假设一个参数化的违约强度（ hazard rate）模型，例如假设违约强度 λ 为常数或分段常数。
  3. 建立方程：将假设的违约概率函数（S(t) = e^{-λt} 对于常数λ）代入上面的定价公式，令计算出的利差 s_model 等于市场观测到的利差 s_market。
  4. 求解参数：通过数值方法（如牛顿-拉弗森法）解出使得等式成立的违约强度 λ。这个过程就是校准。通过不同期限的CDS利差，我们可以校准出一个完整的信用曲线，即不同时间点的违约强度。

一旦校准出信用曲线，我们就可以用它来为更复杂的、非标准化的信用衍生品定价，或者计算信用价值调整（CVA）。

总结

信用违约互换（CDS）的定价模型是一个基于无套利和风险中性定价理论的精妙框架。它通过将合约分解为“保费端”和“违约端”两条现金流腿，并利用从市场数据中校准出的生存/违约概率，最终确定出公平的保费率。这个模型不仅是CDS交易的基础，也是整个现代信用风险量化管理的基石。

信用违约互换（CDS）的定价模型 好的，我们开始学习 信用违约互换（CDS）的定价模型 。这个模型是量化信用风险的核心工具，它告诉我们如何为一份CDS合约确定一个公平的价格（即保费率或利差）。 步骤1：重温核心概念与目标 首先，我们明确目标：为一份CDS合约定价，就是计算出使得合约在初始时刻价值为零的 年度保费率 ，这个费率通常被称为 CDS利差 。 简单回顾CDS的结构： 买方 ：定期向卖方支付一笔固定费用（即保费），以获取信用保护。 卖方 ：承诺如果参考实体发生信用事件（如破产、违约），则向买方支付一笔补偿。 关键要素 ：参考实体、名义本金、期限、保费支付频率。 定价模型的核心思想是 风险中性定价 ：在风险中性测度下，合约所有未来现金流的期望现值之和应为零。即： 保护买方支付的保费现值 = 保护卖方支付的违约赔付现值 步骤2：构建模型的基本框架——现金流分析 我们将CDS的现金流分解为两条“腿”： 保费端 ：买方支付给卖方的现金流。 在每一个保费支付日，只要参考实体尚未违约，买方就支付一笔费用。费用金额为 利差 × 名义本金 × accrual factor（计期因子） 。 如果违约发生在两个支付日之间，买方通常还需支付从上一个支付日到违约日的应计保费。 违约端/保护端 ：卖方支付给买方的现金流。 当且仅当违约发生时，卖方支付一笔款项。这笔款项通常是 名义本金 × (1 - 回收率) 。回收率是指违约后资产还能收回的价值比例。 步骤3：引入关键概率变量——生存概率与违约概率 要对未来的现金流进行贴现和求期望，我们需要知道违约事件发生的可能性。我们引入两个关键的时间函数： 生存概率 ：参考实体从当前时刻到未来时间 t 仍然存活的概率，记为 S(t) 。 违约概率 ：参考实体在时间 t 之前违约的概率，记为 F(t) = 1 - S(t) 。 违约概率密度 ：参考实体在精确时间 t 发生违约的概率密度，记为 f(t) = dF(t)/dt = -dS(t)/dt 。 这些概率通常从市场交易的其他信用衍生品（如不同期限的CDS）的价格中反向推导出来，这个过程称为 校准 。 步骤4：计算两条“腿”的现值 现在，我们在风险中性测度下，计算两条腿现金流的期望现值。假设无风险利率为 r ，名义本金为1，CDS利差为 s ，回收率为 R 。 保费端现值 ： 定期保费支付：每个支付日 t_i ，支付发生的条件是参考实体存活到 t_i ，其概率为 S(t_i) 。因此，第 i 笔保费的现值为 s × Δt_i × DF(t_i) × S(t_i) ，其中 Δt_i 是计期因子， DF(t_i) 是到时间 t_i 的贴现因子。 应计保费：如果违约发生在时间 τ (介于 t_{i-1} 和 t_i 之间)，买方需支付从 t_{i-1} 到 τ 的应计费用。这需要用一个积分来表示，对所有可能的违约时间求期望： s × ∫ (从上次支付日到违约日的 accrual factor) × DF(τ) × f(τ) dτ 。 保费端总现值 PV_ Premium ≈ s × Σ [ Δt_ i × DF(t_ i) × S(t_ i)] 。在离散时间近似下，我们常忽略应计保费项以简化计算，但精确模型会包含它。 违约端现值 ： 违约赔付：如果违约发生在时间 τ ，卖方支付 (1-R) 。这笔现金流的现值需要对所有可能的违约时间求期望： (1-R) × ∫ DF(τ) × f(τ) dτ 。 由于 f(τ) = -dS(τ)/dτ ，我们可以通过分部积分得到另一种形式： (1-R) × ∫ DF(τ) × f(τ) dτ = -(1-R) × ∫ DF(τ) dS(τ) 。 违约端总现值 PV_ Default = (1-R) × ∫_ 0^T DF(τ) f(τ) dτ 。 步骤5：建立定价方程并求解利差 根据“收支现值相等”的原则，公平的利差 s 应满足： PV_ Premium = PV_ Default 因此，我们可以解出利差 s ： s = PV_ Default / PV_ Premium 具体写出来就是： s = [ (1-R) × ∫_ 0^T DF(τ) f(τ) dτ ] / [ Σ (Δt_ i × DF(t_ i) × S(t_ i)) + (应计保费项) ] 这个公式就是CDS定价模型的核心。分母部分（保费端的现值）在市场上有一个专门的名称，叫做 风险久期 或 现值基点 ，它代表了1个基点的保费所带来的现值。因此，利差也可以理解为： 利差 = 违约损失现值 / 风险久期 。 步骤6：模型的实际应用与校准 在实际操作中，我们通常不是用这个公式去“计算”利差，而是用它来“校准”违约概率。 输入市场数据 ：我们从市场上观察到不同期限CDS的交易利差 s_market ，以及无风险利率曲线。 假设违约概率模型 ：通常我们会假设一个参数化的违约强度（ hazard rate）模型，例如假设违约强度 λ 为常数或分段常数。 建立方程 ：将假设的违约概率函数（ S(t) = e^{-λt} 对于常数λ）代入上面的定价公式，令计算出的利差 s_model 等于市场观测到的利差 s_market 。 求解参数 ：通过数值方法（如牛顿-拉弗森法）解出使得等式成立的违约强度 λ 。这个过程就是 校准 。通过不同期限的CDS利差，我们可以校准出一个完整的 信用曲线 ，即不同时间点的违约强度。 一旦校准出信用曲线，我们就可以用它来为更复杂的、非标准化的信用衍生品定价，或者计算信用价值调整（CVA）。 总结 信用违约互换（CDS）的定价模型 是一个基于无套利和风险中性定价理论的精妙框架。它通过将合约分解为“保费端”和“违约端”两条现金流腿，并利用从市场数据中校准出的生存/违约概率，最终确定出公平的保费率。这个模型不仅是CDS交易的基础，也是整个现代信用风险量化管理的基石。