亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理

字数 2607 2025-11-02 17:10:54

亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理

亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理是波动理论中的一个基本定理，它将封闭曲面内任意一点的波场与曲面上的波场值及其法向导数联系起来。这个定理是标量衍射理论的数学基础。

1. 背景与物理意义
在波动现象（如声波、光波）中，我们经常需要知道波在空间中的传播。亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理解决了一个核心问题：如果我们知道一个封闭曲面上的波场分布（包括场本身和其沿法向的变化），那么我们能否求出曲面内部任意一点的波场值？该定理给出了肯定的答案，并提供了一个具体的积分公式。这为从“边界”信息推算“内部”信息提供了强有力的工具。

2. 数学预备知识：格林恒等式
该定理的推导依赖于数学中的格林第二恒等式。对于任意两个在体积 \(V\) 内具有连续一阶和二阶导数的标量函数 \(U(\mathbf{r})\) 和 \(G(\mathbf{r})\)，格林第二恒等式表述为：

\[\iiint_V (U \nabla^2 G - G \nabla^2 U) dV = \oiint_S (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS \]

其中：

\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符。
\(S\) 是包围体积 \(V\) 的封闭曲面。
\(\frac{\partial}{\partial n}\) 表示沿曲面外法线方向的导数。
\(dS\) 是曲面上的面积微元。
这个恒等式是散度定理的直接推论，它将体积分与面积分联系起来。

3. 定理的推导思路
我们的目标是求解满足亥姆霍兹方程 \((\nabla^2 + k^2) U(\mathbf{r}) = 0\) 的波场 \(U(\mathbf{r_P})\) 在某一点 \(P\) 的值。

第一步：选择辅助函数
在格林恒等式中，我们令：

\(U\) 就是我们要求的满足亥姆霍兹方程的波场。
选择一个特定的辅助函数 \(G\)，称为格林函数。在自由空间中，格林函数是点源产生的波，满足方程 \((\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}, \mathbf{r‘}) = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r’})\)，其解为 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r'}) = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}\)，其中 \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|\)。这个函数描述了点 \(\mathbf{r'}\) 处单位源在点 \(\mathbf{r}\) 产生的场。

第二步：处理奇点问题
现在，我们想让点 \(P\) 位于体积 \(V\) 内部。但格林函数 \(G\) 在 \(\mathbf{r'} = \mathbf{r_P}\) 时（即场点与源点重合）存在奇点（\(R \to 0\)，函数值趋于无穷大）。为了在格林恒等式中合法地使用 \(G\)，我们必须将奇点 \(P\) 点从积分体积中排除。

第三步：构造排除体积
我们以点 \(P\) 为中心，用一个极小的球面 \(S_\epsilon\) 将其包围起来。这样，新的积分体积 \(V'\) 就是原体积 \(V\) 减去这个小球的体积。在新的体积 \(V'\) 内，函数 \(G\) 不再有奇点，格林恒等式可以应用。

第四步：应用格林恒等式并取极限
将格林恒等式应用于体积 \(V'\)（边界为外表面 \(S\) 和内表面 \(S_\epsilon\)）。由于在 \(V'\) 内，\(U\) 和 \(G\) 都满足齐次亥姆霍兹方程（\(\nabla^2 U + k^2 U = 0\)， \(\nabla^2 G + k^2 G = 0\)），等式左边的体积分为零。于是我们得到：

\[\oiint_S (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS + \oiint_{S_\epsilon} (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS_\epsilon = 0 \]

接下来，我们让小球半径 \(\epsilon \to 0\)，计算在小球面 \(S_\epsilon\) 上的积分极限。通过详细的极限计算可以发现，该积分的结果恰好等于 \(U(\mathbf{r_P})\)。

第五步：得到最终积分公式
将上述结果代入，并注意到曲面 \(S_\epsilon\) 的法向是朝内的（与体积 \(V'\) 的外法向相反），我们需要调整符号。最终我们得到亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理的表达式：

\[U(\mathbf{r_P}) = \frac{1}{4\pi} \oiint_S \left[ U(\mathbf{r}) \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) - \frac{e^{ikR}}{R} \frac{\partial U(\mathbf{r})}{\partial n} \right] dS \]

这个公式表明，封闭曲面 \(S\) 内任意一点 \(P\) 的波场 \(U(\mathbf{r_P})\)，完全由曲面 \(S\) 上的波场值 \(U(\mathbf{r})\) 和其法向导数 \(\frac{\partial U(\mathbf{r})}{\partial n}\) 唯一确定。

4. 意义与应用
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理是标量衍射理论的基石。基尔霍夫衍射公式正是通过对此定理中的曲面 \(S\) 做特定假设（如选择无限大平面作为部分边界，并假设屏上场为零等）而推导出来的。它为解决光波、声波通过孔径的衍射问题提供了严格的起点。

亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理是波动理论中的一个基本定理，它将封闭曲面内任意一点的波场与曲面上的波场值及其法向导数联系起来。这个定理是标量衍射理论的数学基础。 1. 背景与物理意义在波动现象（如声波、光波）中，我们经常需要知道波在空间中的传播。亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理解决了一个核心问题：如果我们知道一个封闭曲面上的波场分布（包括场本身和其沿法向的变化），那么我们能否求出曲面内部任意一点的波场值？该定理给出了肯定的答案，并提供了一个具体的积分公式。这为从“边界”信息推算“内部”信息提供了强有力的工具。 2. 数学预备知识：格林恒等式该定理的推导依赖于数学中的格林第二恒等式。对于任意两个在体积 \( V \) 内具有连续一阶和二阶导数的标量函数 \( U(\mathbf{r}) \) 和 \( G(\mathbf{r}) \)，格林第二恒等式表述为： \[ \iiint_ V (U \nabla^2 G - G \nabla^2 U) dV = \oiint_ S (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS \] 其中： \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算符。 \( S \) 是包围体积 \( V \) 的封闭曲面。 \( \frac{\partial}{\partial n} \) 表示沿曲面外法线方向的导数。 \( dS \) 是曲面上的面积微元。这个恒等式是散度定理的直接推论，它将体积分与面积分联系起来。 3. 定理的推导思路我们的目标是求解满足亥姆霍兹方程 \( (\nabla^2 + k^2) U(\mathbf{r}) = 0 \) 的波场 \( U(\mathbf{r_ P}) \) 在某一点 \( P \) 的值。第一步：选择辅助函数在格林恒等式中，我们令： \( U \) 就是我们要求的满足亥姆霍兹方程的波场。选择一个特定的辅助函数 \( G \)，称为格林函数。在自由空间中，格林函数是点源产生的波，满足方程 \( (\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}, \mathbf{r‘}) = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r’}) \)，其解为 \( G(\mathbf{r}, \mathbf{r'}) = \frac{e^{ikR}}{4\pi R} \)，其中 \( R = |\mathbf{r} - \mathbf{r'}| \)。这个函数描述了点 \( \mathbf{r'} \) 处单位源在点 \( \mathbf{r} \) 产生的场。第二步：处理奇点问题现在，我们想让点 \( P \) 位于体积 \( V \) 内部。但格林函数 \( G \) 在 \( \mathbf{r'} = \mathbf{r_ P} \) 时（即场点与源点重合）存在奇点（\( R \to 0 \)，函数值趋于无穷大）。为了在格林恒等式中合法地使用 \( G \)，我们必须将奇点 \( P \) 点从积分体积中排除。第三步：构造排除体积我们以点 \( P \) 为中心，用一个极小的球面 \( S_ \epsilon \) 将其包围起来。这样，新的积分体积 \( V' \) 就是原体积 \( V \) 减去这个小球的体积。在新的体积 \( V' \) 内，函数 \( G \) 不再有奇点，格林恒等式可以应用。第四步：应用格林恒等式并取极限将格林恒等式应用于体积 \( V' \)（边界为外表面 \( S \) 和内表面 \( S_ \epsilon \)）。由于在 \( V' \) 内，\( U \) 和 \( G \) 都满足齐次亥姆霍兹方程（\( \nabla^2 U + k^2 U = 0 \)， \( \nabla^2 G + k^2 G = 0 \)），等式左边的体积分为零。于是我们得到： \[ \oiint_ S (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS + \oiint_ {S_ \epsilon} (U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n}) dS_ \epsilon = 0 \] 接下来，我们让小球半径 \( \epsilon \to 0 \)，计算在小球面 \( S_ \epsilon \) 上的积分极限。通过详细的极限计算可以发现，该积分的结果恰好等于 \( U(\mathbf{r_ P}) \)。第五步：得到最终积分公式将上述结果代入，并注意到曲面 \( S_ \epsilon \) 的法向是朝内的（与体积 \( V' \) 的外法向相反），我们需要调整符号。最终我们得到亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理的表达式： \[ U(\mathbf{r_ P}) = \frac{1}{4\pi} \oiint_ S \left[ U(\mathbf{r}) \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) - \frac{e^{ikR}}{R} \frac{\partial U(\mathbf{r})}{\partial n} \right ] dS \] 这个公式表明，封闭曲面 \( S \) 内任意一点 \( P \) 的波场 \( U(\mathbf{r_ P}) \)，完全由曲面 \( S \) 上的波场值 \( U(\mathbf{r}) \) 和其法向导数 \( \frac{\partial U(\mathbf{r})}{\partial n} \) 唯一确定。 4. 意义与应用亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理是标量衍射理论的基石。基尔霍夫衍射公式正是通过对此定理中的曲面 \( S \) 做特定假设（如选择无限大平面作为部分边界，并假设屏上场为零等）而推导出来的。它为解决光波、声波通过孔径的衍射问题提供了严格的起点。