博雷尔-σ-代数的完备化 我们首先回顾 博雷尔-σ-代数 的概念。在一个拓扑空间（例如实数轴 ℝ）上，由所有开集（或等价地，由所有闭集）生成的 σ-代数称为博雷尔-σ-代数，其中的集合称为博雷尔集。博雷尔集构成了一个非常丰富的集合族，包含了我们在分析中遇到的大多数“规则”集合。 现在，考虑一个测度空间，例如 (ℝ, 𝓑(ℝ), μ)，其中 μ 是定义在博雷尔-σ-代数 𝓑(ℝ) 上的一个测度（如勒贝格测度）。一个自然的问题是：这个测度空间是完备的吗？ 回忆一下，一个测度空间 (X, 𝓕, μ) 称为 完备的 ，如果对于任意满足 μ(N) = 0 的集合 N ∈ 𝓕，N 的所有子集也都在 𝓐 中。换句话说，零测集的所有子集都是可测的（并且自然也是零测集）。 然而，博雷尔-σ-代数 𝓑(ℝ) 关于勒贝格测度 λ 通常 不是 完备的。这意味着存在勒贝格测度为零的博雷尔集 N（例如，一个单点集），但 N 的某个子集 E 可能不是一个博雷尔集。这个子集 E 虽然“很小”（包含在零测集内），但它却“不可测”，这在实际应用中会带来很多不便。 为了解决这个问题，我们引入 完备化 的概念。给定测度空间 (X, 𝓕, μ)，我们可以通过“添加”所有零测集的子集来构造一个新的、更大的 σ-代数，使得新的测度空间是完备的。这个过程就叫做测度空间的完备化。 具体构造如下： 令 𝓝 为所有 μ-零测集的子集的集合，即 𝓝 = { E ⊂ X : 存在 N ∈ 𝓕 使得 μ(N)=0 且 E ⊂ N }。 定义一个新的 σ-代数：𝓕̄ = { F ⊂ X : 存在 A, B ∈ 𝓕，使得 A ⊂ F ⊂ B 且 μ(B \ A) = 0 }。 直观上，𝓕̄ 中的集合 F 与某个可测集 A “几乎处处”相等（只差一个零测集）。 对于 F ∈ 𝓕̄，定义 μ̄(F) = μ(A) = μ(B)。可以证明这个定义是良好的（不依赖于 A 和 B 的选取）。 这样得到的新测度空间 (X, 𝓕̄, μ̄) 就是原测度空间的 完备化 ，并且 μ̄ 是 μ 的延拓。 现在，回到我们的主题。将勒贝格测度 λ 定义在其上的博雷尔-σ-代数 𝓑(ℝ) 进行完备化，所得到的更大的 σ-代数，就称为 𝓑(ℝ) 的完备化 ，或者更常见的叫法是 勒贝格-σ-代数 ，通常记为 𝓛(ℝ)。 所以， 博雷尔-σ-代数的完备化 指的就是这个构造过程及其结果：𝓛(ℝ) = 𝓑(ℝ)̄。勒贝格-σ-代数 𝓛(ℝ) 中的集合称为 勒贝格可测集 。 总结一下关键点： 动机 ：博雷尔-σ-代数关于其上的测度（如勒贝格测度）不一定是完备的。 方法 ：通过添加所有零测集的子集来扩充原 σ-代数。 结果 ：得到一个新的、完备的 σ-代数（即勒贝格-σ-代数），它包含了所有博雷尔集和所有勒贝格零测集的子集。 重要性 ：完备化后的测度空间（如勒贝格测度空间）在处理“几乎处处”成立的性质时更加方便和严谨，因为所有与可测集只差一个零测集的集合都变得可测了。