圆的渐开线在极坐标下的表示 首先，我们回顾圆的渐开线的定义：一条直线沿着一个固定圆作纯滚动时，直线上任意一点的轨迹称为圆的渐开线。固定圆称为基圆。 现在，我们引入极坐标系。以基圆的圆心为极点，初始时刻渐开线上点的位置在极轴上。设基圆半径为 \(a\)，滚动直线上的点从基圆上某点开始展开。 在极坐标下，点的位置由极径 \(\rho\) 和极角 \(\theta\) 表示。对于渐开线上的点，极径 \(\rho\) 是点到圆心的距离。根据渐开线的生成过程，滚动直线与基圆的切点、圆心和渐开线上的点构成几何关系。 设切点处对应的基圆圆心角为 \(t\)（参数）。由于纯滚动，展开的弧长等于滚动直线的长度，即 \(at\)。同时，渐开线上的点与切点的连线（即滚动直线段）与基圆半径垂直。 通过几何分析，极径 \(\rho\) 与参数 \(t\) 的关系为： \[ \rho = a \sqrt{1 + t^2} \] 极角 \(\theta\) 与 \(t\) 的关系为： \[ \theta = t - \arctan(t) \] 因此，圆的渐开线在极坐标下的参数方程为： \[ \rho = a \sqrt{1 + t^2}, \quad \theta = t - \arctan(t) \] 其中 \(t\) 为实数参数。 接下来，我们解释这个参数方程。当 \(t=0\) 时，点位于基圆上，极径 \(\rho = a\)，极角 \(\theta = 0\)。随着 \(t\) 增大，极径 \(\rho\) 单调增加，极角 \(\theta\) 也增加，但速率不同。极角表达式中的 \(\arctan(t)\) 项表示渐开线相对于基圆的“展开角”。 这种极坐标表示便于分析渐开线的性质，如曲率、弧长等。例如，弧长微分可通过极坐标公式计算，与直角坐标表示一致。 总之，圆的渐开线在极坐标下的参数方程简洁地描述了点的轨迹，突出了几何关系中的角度和距离变化。