二次型的自守L函数 二次型的自守L函数是将二次型与模形式理论紧密联系的重要工具。我们从二次型的θ级数开始，逐步构建其自守L函数。 首先，给定一个正定二次型Q(x₁,...,xₙ)，其θ级数定义为： θ_ Q(z) = Σ_ {x∈ℤⁿ} e^{2πi z Q(x)}，其中z属于复上半平面。 这是一个权为n/2的模形式。当n为偶数时，θ_ Q(z)是整权模形式；当n为奇数时，则是半整权模形式。 θ级数的傅里叶展开系数r_ Q(m) = #{x∈ℤⁿ: Q(x)=m}给出了二次型表示整数m的方式数。通过梅林变换，我们得到L函数： L(s, Q) = Σ_ {m≥1} r_ Q(m) m^{-s} = ∫₀^∞ θ_ Q(it) t^{s-1} dt。 这个L函数可以分解为局部因子乘积：L(s, Q) = ∏_ p L_ p(s, Q)，其中局部L函数L_ p(s, Q)由二次型在p进数域上的约化性质决定。具体地，L_ p(s, Q) = (1 - α_ p p^{-s})^{-1}(1 - β_ p p^{-s})^{-1}，其中α_ p、β_ p是与二次型在模p下的不变量相关的特征值。 当二次型Q对应某个代数群时，其自守L函数满足函数方程：Λ(s, Q) = εΛ(n-s, Q)，其中完备L函数Λ(s, Q) = γ(s)L(s, Q)包含适当的γ因子，ε是模为1的常数。 特别地，当Q对应一个尖点形式f时，L(s, Q)等于f的标准L函数L(s, f)。这时，L函数具有欧拉乘积、解析延拓到整个复平面等性质。 二次型的自守L函数在表示数问题中有深刻应用。通过研究L(s, Q)在s=n/2处的留数，可以得到二次型表示数的渐近公式。此外，这些L函数也出现在志村簇的ζ函数中，与朗兰兹纲领的互反猜想密切相关。