代数簇的Grothendieck群 背景与动机 在代数几何中，研究代数簇时常需对其上的向量丛或凝聚层进行分类。直接分类可能极为复杂，但通过构造一个群结构，可将分类问题转化为线性代数问题。Grothendieck群（记为 \( K_ 0(X) \)）便是这样一种工具：它将向量丛的“同构类”转化为可计算的群元素，从而简化几何不变量的研究。 自由阿贝尔群的构造 设 \( X \) 为代数簇，\( \text{Vect}(X) \) 表示 \( X \) 上向量丛的同构类集合。先构造自由阿贝尔群 \( F(X) \)，其生成元为 \( [ E] \)（每个生成元对应一个向量丛 \( E \) 的同构类）。但此时 \( [ E \oplus F] \) 与 \( [ E] + [ F ] \) 尚无关联，需引入等价关系。 定义关系与群结构 在 \( F(X) \) 中引入子群 \( R(X) \)，由形如 \( [ E \oplus F] - [ E] - [ F] \) 的元素生成。定义 Grothendieck群 \( K_ 0(X) \) 为商群： \[ K_ 0(X) = F(X) / R(X). \] 此商群中，每个向量丛的类满足 \( [ E \oplus F] = [ E] + [ F] \)，且零丛 \( [ 0 ] \) 对应单位元 \( 0 \)。 张量积与环结构 若进一步考虑向量丛的张量积 \( \otimes \)，可赋予 \( K_ 0(X) \) 环结构：定义乘法为 \( [ E] \cdot [ F] = [ E \otimes F] \)。此时 \( K_ 0(X) \) 称为 Grothendieck环 ，其乘法单位元为平凡线丛的类 \( [ \mathcal{O}_ X ] \)。 凝聚层的推广 对更一般的凝聚层 \( \mathcal{F} \)，可类似定义 \( K_ 0(X) \)：将生成元扩展为凝聚层的同构类，并引入关系 \( [ \mathcal{F}'] - [ \mathcal{F}] + [ \mathcal{F}''] = 0 \)（对每个正合序列 \( 0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0 \)）。此时 \( K_ 0(X) \) 成为 代数K理论 的零阶群。 函子性与基本性质 态射诱导同态 ：若 \( f: X \to Y \) 是态射，拉回丛操作 \( f^* \) 诱导环同态 \( f^* : K_ 0(Y) \to K_ 0(X) \)。 投影公式 ：若 \( f \) 是固有态射，则存在推前同态 \( f_ !: K_ 0(X) \to K_ 0(Y) \) 满足 \( f_ !(f^* a \cdot b) = a \cdot f_ ! b \)。 陈类计算 ：Grothendieck群是陈类等不变量的定义基础，例如陈特征 \( \operatorname{ch}: K_ 0(X) \to \operatorname{CH}^* (X) \otimes \mathbb{Q} \)。 应用示例：Riemann-Roch定理 在代数几何中，Grothendieck-Riemann-Roch定理表述为：对固有态射 \( f: X \to Y \)，有交换图 \[ \begin{array}{ccc} K_ 0(X) & \xrightarrow{\operatorname{ch}(-)\cdot \operatorname{td}(T_ X)} & \operatorname{CH}^ (X) \mathbb{Q} \\ \downarrow f ! & & \downarrow f_ \\ K_ 0(Y) & \xrightarrow{\operatorname{ch}(-)\cdot \operatorname{td}(T_ Y)} & \operatorname{CH}^* (Y)_ \mathbb{Q} \end{array} \] 其中 \( \operatorname{td} \) 为Todd类，此定理将层上同调的计算转化为 Chow 群中的计算。 高阶K群与现代发展 \( K_ 0(X) \) 可推广为高阶代数K群 \( K_ n(X) \)（如 \( K_ 1 \) 与矩阵群相关，\( K_ 2 \) 与Steinberg群相关）。这些群构成代数K理论的核心，连接几何、数论与拓扑（如Quillen的Q构造）。