量子力学中的Weyl-Titchmarsh理论 背景与基本概念 Weyl-Titchmarsh理论是处理一维薛定谔算子谱分析的核心工具，主要研究微分算子的极限点型与极限圆型分类、谱函数构造以及边值问题。其背景源于赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）对奇异斯图姆-刘维尔问题的探索，后由爱德华·蒂奇马什（E. C. Titchmarsh）系统化。核心问题为：对于一维薛定谔算子 \[ H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \quad (x \in [ 0, \infty)) \] 在势函数 \( V(x) \) 可能奇异（如 \( x \to \infty \) 时无界）时，如何描述其谱性质。 极限点型与极限圆型 理论的关键在于判断算子在无穷远端的边界性质。对于复参数 \( \lambda \in \mathbb{C} \)，薛定谔方程 \[ -\psi''(x) + V(x)\psi(x) = \lambda \psi(x) \] 的解空间是二维的。若对任意 \( \operatorname{Im} \lambda \neq 0 \)，方程在 \( L^2(0, \infty) \) 中仅有一个线性无关的解，则称算子在 \( \infty \) 处为 极限点型 ；若所有解均属于 \( L^2 \)，则称为 极限圆型 。例如，若 \( V(x) \) 在 \( \infty \) 处有下界，则必为极限点型。此分类决定了边值条件的必要性：极限点型无需显式边界条件即可定义自伴算子。 Weyl m-函数 对极限点型算子，固定左端点边界条件（如 \( \psi(0) = 0 \)），存在一个复函数 \( m(\lambda) \)，称为 Weyl m-函数 。其定义如下：对 \( \operatorname{Im} \lambda > 0 \)，存在唯一解 \( \psi(x, \lambda) \) 满足 \[ \psi(0) = 0, \quad \psi'(0) = 1, \quad \psi(\cdot, \lambda) \in L^2(0, \infty) \] 则 \( m(\lambda) := \psi'(0, \lambda) / \psi(0, \lambda) \) 的解析延拓（需通过边界条件调整）。m-函数是Herglotz函数（映射上半复平面到自身），其虚部携带谱信息。 谱函数与谱分解 通过m-函数可构造 谱函数 \( \rho(\lambda) \)，这是一个非递减右连续函数，使得算子 \( H \) 可通过酉等价映射到 \( L^2(\mathbb{R}, d\rho) \) 上的乘法算子。具体地，谱定理给出： \[ H \cong \text{在 } L^2(\mathbb{R}, d\rho) \text{ 上的乘法算子 } M_ \lambda: f(\lambda) \mapsto \lambda f(\lambda) \] 谱测度 \( d\rho \) 由m-函数的边界行为决定：若 \( m(\lambda) = \int_ {\mathbb{R}} \frac{1}{t-\lambda} d\rho(t) + \text{实常数} \)，则 \( \rho \) 的间断点对应点谱，连续部分对应连续谱。 应用与意义 Weyl-Titchmarsh理论使得即使对奇异势函数，也能通过m-函数和谱函数完整刻画算子的谱（点谱、绝对连续谱、奇异连续谱）。例如，在周期势或衰减势中，可通过m-函数的解析性判断谱的类型。该理论还用于反散射问题、随机薛定谔算子的局部化研究，以及量子力学中束缚态与共振态的分类。