圆的渐屈线与渐伸线的微分几何关系 我们先回顾圆的渐屈线和渐伸线的定义。圆的渐伸线是：一条绷紧的绳子从圆周上解开时，端点形成的轨迹。圆的渐屈线是：该圆本身，因为圆的渐屈线是其所有法线包络形成的曲线。 1. 参数化表示 设圆的半径为 \( R \)，渐伸线的参数方程为： \[ x = R(\cos t + t \sin t), \quad y = R(\sin t - t \cos t) \] 其中 \( t \) 是参数（表示解开的弧度）。渐屈线（即圆）的方程为： \[ X = R \cos t, \quad Y = R \sin t \] 2. 曲率关系 渐伸线的曲率 \( \kappa_ e \) 可通过微分几何公式计算。其切向量为： \[ \dot{x} = R t \cos t, \quad \dot{y} = R t \sin t \] 速度大小 \( v = R |t| \)。加速度分量为： \[ \ddot{x} = R (\cos t - t \sin t), \quad \ddot{y} = R (\sin t + t \cos t) \] 曲率公式 \( \kappa = \frac{|\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}|}{v^3} \) 给出： \[ \kappa_ e = \frac{1}{R |t|} \] 渐屈线（圆）的曲率为常数 \( \kappa_ c = \frac{1}{R} \)。 关键关系：渐伸线上任意点的曲率半径 \( \rho_ e = \frac{1}{\kappa_ e} = R |t| \)，正好等于该点到渐屈线（圆）的弧长（因为圆的弧长 \( s = R|t| \)）。这体现了渐屈线是曲率中心的轨迹。 3. 法线一致性 渐伸线的法线方向由导数关系可得： \[ \text{法向量} \propto (-\dot{y}, \dot{x}) = (-R t \sin t, R t \cos t) \] 该法线始终指向渐屈线（圆）的对应点，且长度 \( R|t| \) 等于曲率半径。这验证了渐屈线的几何意义：渐伸线的法线是渐屈线的切线。 4. 微分几何的泛化 对于一般曲线，渐屈线由曲率中心构成：若原曲线有曲率 \( \kappa(s) \)，则渐屈线为 \( \beta(s) = \alpha(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s) \)，其中 \( N \) 是法向量。圆的渐伸线是此关系的特例：原曲线（圆）的渐屈线退化为一点（圆心），而圆的渐伸线的渐屈线正是圆本身，形成对称的微分几何对偶。