二次型的极小与表示数上界

字数 3653 2025-11-02 10:10:41

二次型的极小与表示数上界

我们从一个具体的例子开始：考虑整数 \(n = 28\)。它可以用二次型 \(x^2 + y^2\) 表示吗？即，是否存在整数 \(x, y\) 使得 \(x^2 + y^2 = 28\)？通过尝试小的整数，\(28 = 5^2 + (\sqrt{3})^2\) 不是整数解，\(4^2 + 2^2 = 16+4=20\)，\(4^2 + 3^2 = 16+9=25\)，\(5^2 + 2^2 = 25+4=29\)。我们发现不存在这样的整数 \(x, y\)。但是，二次型 \(x^2 + 2y^2\) 呢？\(4^2 + 2*2^2 = 16+8=24\)，\(4^2 + 2*3^2 = 16+18=34\)，\(5^2 + 2*1^2 = 25+2=27\)，\(5^2 + 2*2^2 = 25+8=33\)。似乎也不行。那么 \(x^2 + 3y^2\) 呢？\(5^2 + 3*1^2 = 25+3=28\)！所以 \(28\) 可以被二次型 \(x^2 + 3y^2\) 表示。这个简单的例子引出一个深刻的问题：对于一个给定的正整数 \(n\)，和一个给定的正定二元二次型 \(f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)（其中 \(a, b, c\) 为整数，且判别式 \(D = b^2 - 4ac < 0\)），我们如何判断 \(n\) 是否能被 \(f\) 表示？更进一步，如果能被表示，有多少种表示方法？今天我们不讨论具体的判断准则，而是探讨一个相关但更基础的问题：如果我们知道 \(n\) 能被某个二次型表示，那么表示方法的个数，即方程 \(f(x, y) = n\) 的整数解 \((x, y)\) 的个数，大概有多少？这个“大概有多少”就是表示数的上界问题。

第一步：从具体例子到一般问题

让我们形式化问题。考虑一个正定的二元整系数二次型 \(f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)。其判别式 \(D = b^2 - 4ac < 0\)。对于给定的正整数 \(n\)，我们关心的是方程 \(f(x, y) = n\) 的整数解 \((x, y)\) 的个数。我们记这个解数为 \(r_f(n)\)。

一个自然的想法是：这个解数会不会随着 \(n\) 的增大而无限增多？直觉上，因为 \(f(x, y) = n\) 定义了一个椭圆（当 \(D<0\)），其周长大致正比于 \(\sqrt{n}\)。椭圆曲线上的整点个数应该不会太多。事实上，我们可以证明 \(r_f(n)\) 是有上界的，并且这个上界只依赖于二次型 \(f\) 本身，而与 \(n\) 无关！这个上界就是我们要讲的“表示数上界”。更精确地说，存在一个只依赖于 \(f\) 的常数 \(c_f\)，使得对于所有正整数 \(n\)，都有 \(r_f(n) \le c_f\)。

第二步：理解“与n无关”的深刻含义

“上界与 \(n\) 无关”是一个非常强的结论。它意味着，无论 \(n\) 变得多大，能被 \(f\) 表示成 \(n = f(x, y)\) 的整数对 \((x, y)\) 的个数，永远不会超过一个固定的数值 \(c_f\)。例如，对于二次型 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，虽然有很多数可以被表示为两个平方数之和，但对于每个特定的 \(n\)，表示法是有限的，并且所有 \(n\) 的表示法个数都不会超过某个固定的数。这个结论并非显然，因为椭圆周长在增长，但整点的“密度”实际上在降低。

第三步：证明的关键思想——二次型的极小（Minimum）

为了证明这个上界的存在，我们需要引入一个核心概念：二次型的极小（Minimum）。
一个正定二次型 \(f(x, y)\) 的极小，记作 \(m(f)\)，定义为该二次型在所有非零整数对 \((x, y) \neq (0, 0)\) 上所取的最小正值：
\(m(f) = \min \{ f(x, y) > 0 : (x, y) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\} \}\)。
由于 \(f\) 是正定的，并且只在 \((0,0)\) 处为零，所以这个最小值是存在且为正数的。例如，对于 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，其极小 \(m(f) = 1\)（在 (1,0) 或 (0,1) 处取得）。对于 \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2\)，其极小也是 \(1\)（在 (1,0) 或 (0,1) 处取得，值为1）。

第四步：利用极小来分离不同的表示

现在，假设我们有两个不同的整数对 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，它们都表示同一个数 \(n\)，即 \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) = n\)。我们考虑它们的差 \((u, v) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)。关键点在于，由于 \(f\) 是二次型，我们可以利用其性质来估计 \(f(u, v)\) 的值。

一个重要的不等式是：对于正定二次型，存在一个与 \(f\) 相关的常数 \(K_f\)（通常与 \(f\) 的判别式 \(D\) 和系数有关），使得对于任意两个整数对 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)，如果它们对应的点在一定意义下“足够接近”，那么 \(f(x_1 - x_2, y_1 - y_2)\) 会小于 \(m(f)\)。

更具体的一个经典方法是考虑 \(f\) 对应的几何。二次型 \(f(x, y)\) 可以看作是在一个二维格点（由 \(f\) 的系数矩阵决定）上定义的一个“距离”的平方。这个格点有一个基本区域（平行四边形）。任何两个代表同一个数 \(n\) 的格点，如果它们在同一个基本区域的平移类中，那么它们的差向量 \((u, v)\) 的长度（由 \(f\) 度量）会有一个上界，这个上界由基本区域的大小决定。通过仔细分析这个格点的几何性质，我们可以证明：如果两个不同的表示 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 都满足 \(f(x_i, y_i) = n\)，那么它们对应的点之间的距离（用 \(f\) 度量）不能太大，实际上被一个只依赖于 \(f\) 的常数所控制。

第五步：推导出上界

基于第四步的几何分析，我们可以得出以下核心论断：
所有满足 \(f(x, y) = n\) 的整数对 \((x, y)\) 所对应的点，都落在以原点为中心的某个椭圆环内，并且任意两个不同的表示点之间的距离（由 \(f\) 度量）至少是 \(\sqrt{m(f)}\)（因为如果距离小于 \(\sqrt{m(f)}\)，那么差向量对应的 \(f\) 值就会小于 \(m(f)\)，这与 \(m(f)\) 的定义矛盾，除非差向量为零）。

现在，考虑一个足够大的圆（由 \(f(x, y) \le n + \delta\) 定义，\(\delta\) 是一个小常数）来包围所有这些表示点。这个圆的“面积”（用 \(f\) 对应的度量）是与 \(n\) 成正比的。而每个表示点周围都有一个“禁区”，这个禁区的面积是一个固定的正值（由 \(m(f)\) 决定）。因为这些禁区互不相交（如果相交，则两点距离过近，与最小性矛盾），所以表示点的个数不能超过（大圆的面积）/（每个禁区的面积）。这个比值是一个与 \(n\) 无关的常数！因此，表示数 \(r_f(n)\) 有一个只依赖于 \(f\) 的上界 \(c_f\)。

总结

我们通过引入二次型的极小 \(m(f)\) 这一概念，并利用二次型对应的几何（格点理论），证明了对于任意正定二元二次型 \(f\)，其表示数 \(r_f(n)\)（即方程 \(f(x, y)=n\) 的整数解个数）有一个上界 \(c_f\)，而这个上界是一个只依赖于 \(f\) 本身（具体来说，依赖于其判别式 \(D\) 和极小 \(m(f)\)）的常数，与 \(n\) 无关。这个结论是数论中研究二次型表示问题的一个基础而重要的工具。

二次型的极小与表示数上界我们从一个具体的例子开始：考虑整数 \( n = 28 \)。它可以用二次型 \( x^2 + y^2 \) 表示吗？即，是否存在整数 \( x, y \) 使得 \( x^2 + y^2 = 28 \)？通过尝试小的整数，\( 28 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 \) 不是整数解，\( 4^2 + 2^2 = 16+4=20 \)，\( 4^2 + 3^2 = 16+9=25 \)，\( 5^2 + 2^2 = 25+4=29 \)。我们发现不存在这样的整数 \( x, y \)。但是，二次型 \( x^2 + 2y^2 \) 呢？\( 4^2 + 2 2^2 = 16+8=24 \)，\( 4^2 + 2 3^2 = 16+18=34 \)，\( 5^2 + 2 1^2 = 25+2=27 \)，\( 5^2 + 2 2^2 = 25+8=33 \)。似乎也不行。那么 \( x^2 + 3y^2 \) 呢？\( 5^2 + 3* 1^2 = 25+3=28 \)！所以 \( 28 \) 可以被二次型 \( x^2 + 3y^2 \) 表示。这个简单的例子引出一个深刻的问题：对于一个给定的正整数 \( n \)，和一个给定的正定二元二次型 \( f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)（其中 \( a, b, c \) 为整数，且判别式 \( D = b^2 - 4ac < 0 \)），我们如何判断 \( n \) 是否能被 \( f \) 表示？更进一步，如果能被表示，有多少种表示方法？今天我们不讨论具体的判断准则，而是探讨一个相关但更基础的问题：如果我们知道 \( n \) 能被某个二次型表示，那么表示方法的个数，即方程 \( f(x, y) = n \) 的整数解 \( (x, y) \) 的个数，大概有多少？这个“大概有多少”就是表示数的上界问题。第一步：从具体例子到一般问题让我们形式化问题。考虑一个正定的二元整系数二次型 \( f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)。其判别式 \( D = b^2 - 4ac < 0 \)。对于给定的正整数 \( n \)，我们关心的是方程 \( f(x, y) = n \) 的整数解 \( (x, y) \) 的个数。我们记这个解数为 \( r_ f(n) \)。一个自然的想法是：这个解数会不会随着 \( n \) 的增大而无限增多？直觉上，因为 \( f(x, y) = n \) 定义了一个椭圆（当 \( D<0 \)），其周长大致正比于 \( \sqrt{n} \)。椭圆曲线上的整点个数应该不会太多。事实上，我们可以证明 \( r_ f(n) \) 是有上界的，并且这个上界只依赖于二次型 \( f \) 本身，而与 \( n \) 无关！这个上界就是我们要讲的“表示数上界”。更精确地说，存在一个只依赖于 \( f \) 的常数 \( c_ f \)，使得对于所有正整数 \( n \)，都有 \( r_ f(n) \le c_ f \)。第二步：理解“与n无关”的深刻含义 “上界与 \( n \) 无关”是一个非常强的结论。它意味着，无论 \( n \) 变得多大，能被 \( f \) 表示成 \( n = f(x, y) \) 的整数对 \( (x, y) \) 的个数，永远不会超过一个固定的数值 \( c_ f \)。例如，对于二次型 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，虽然有很多数可以被表示为两个平方数之和，但对于每个特定的 \( n \)，表示法是有限的，并且所有 \( n \) 的表示法个数都不会超过某个固定的数。这个结论并非显然，因为椭圆周长在增长，但整点的“密度”实际上在降低。第三步：证明的关键思想——二次型的极小（Minimum）为了证明这个上界的存在，我们需要引入一个核心概念：二次型的极小（Minimum）。一个正定二次型 \( f(x, y) \) 的极小，记作 \( m(f) \)，定义为该二次型在所有非零整数对 \( (x, y) \neq (0, 0) \) 上所取的最小正值： \( m(f) = \min \{ f(x, y) > 0 : (x, y) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\} \} \)。由于 \( f \) 是正定的，并且只在 \( (0,0) \) 处为零，所以这个最小值是存在且为正数的。例如，对于 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，其极小 \( m(f) = 1 \)（在 (1,0) 或 (0,1) 处取得）。对于 \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \)，其极小也是 \( 1 \)（在 (1,0) 或 (0,1) 处取得，值为1）。第四步：利用极小来分离不同的表示现在，假设我们有两个不同的整数对 \( (x_ 1, y_ 1) \) 和 \( (x_ 2, y_ 2) \)，它们都表示同一个数 \( n \)，即 \( f(x_ 1, y_ 1) = f(x_ 2, y_ 2) = n \)。我们考虑它们的差 \( (u, v) = (x_ 1 - x_ 2, y_ 1 - y_ 2) \)。关键点在于，由于 \( f \) 是二次型，我们可以利用其性质来估计 \( f(u, v) \) 的值。一个重要的不等式是：对于正定二次型，存在一个与 \( f \) 相关的常数 \( K_ f \)（通常与 \( f \) 的判别式 \( D \) 和系数有关），使得对于任意两个整数对 \( (x_ 1, y_ 1), (x_ 2, y_ 2) \)，如果它们对应的点在一定意义下“足够接近”，那么 \( f(x_ 1 - x_ 2, y_ 1 - y_ 2) \) 会小于 \( m(f) \)。更具体的一个经典方法是考虑 \( f \) 对应的几何。二次型 \( f(x, y) \) 可以看作是在一个二维格点（由 \( f \) 的系数矩阵决定）上定义的一个“距离”的平方。这个格点有一个基本区域（平行四边形）。任何两个代表同一个数 \( n \) 的格点，如果它们在同一个基本区域的平移类中，那么它们的差向量 \( (u, v) \) 的长度（由 \( f \) 度量）会有一个上界，这个上界由基本区域的大小决定。通过仔细分析这个格点的几何性质，我们可以证明：如果两个不同的表示 \( (x_ 1, y_ 1) \) 和 \( (x_ 2, y_ 2) \) 都满足 \( f(x_ i, y_ i) = n \)，那么它们对应的点之间的距离（用 \( f \) 度量）不能太大，实际上被一个只依赖于 \( f \) 的常数所控制。第五步：推导出上界基于第四步的几何分析，我们可以得出以下核心论断：所有满足 \( f(x, y) = n \) 的整数对 \( (x, y) \) 所对应的点，都落在以原点为中心的某个椭圆环内，并且任意两个不同的表示点之间的距离（由 \( f \) 度量）至少是 \( \sqrt{m(f)} \)（因为如果距离小于 \( \sqrt{m(f)} \)，那么差向量对应的 \( f \) 值就会小于 \( m(f) \)，这与 \( m(f) \) 的定义矛盾，除非差向量为零）。现在，考虑一个足够大的圆（由 \( f(x, y) \le n + \delta \) 定义，\( \delta \) 是一个小常数）来包围所有这些表示点。这个圆的“面积”（用 \( f \) 对应的度量）是与 \( n \) 成正比的。而每个表示点周围都有一个“禁区”，这个禁区的面积是一个固定的正值（由 \( m(f) \) 决定）。因为这些禁区互不相交（如果相交，则两点距离过近，与最小性矛盾），所以表示点的个数不能超过（大圆的面积）/（每个禁区的面积）。这个比值是一个与 \( n \) 无关的常数！因此，表示数 \( r_ f(n) \) 有一个只依赖于 \( f \) 的上界 \( c_ f \)。总结我们通过引入二次型的极小 \( m(f) \) 这一概念，并利用二次型对应的几何（格点理论），证明了对于任意正定二元二次型 \( f \)，其表示数 \( r_ f(n) \)（即方程 \( f(x, y)=n \) 的整数解个数）有一个上界 \( c_ f \)，而这个上界是一个只依赖于 \( f \) 本身（具体来说，依赖于其判别式 \( D \) 和极小 \( m(f) \)）的常数，与 \( n \) 无关。这个结论是数论中研究二次型表示问题的一个基础而重要的工具。