代数簇的Riemann-Roch定理 我们先从代数曲线上的除子概念开始。设C是一个光滑射影代数曲线（即紧致黎曼面）。C上的除子D是形式有限和D = ∑ n_ i P_ i，其中P_ i是C上的点，n_ i是整数。除子的次数deg(D)定义为∑ n_ i。 接下来定义除子D的相伴向量空间L(D) = {f是C上的有理函数 | (f) + D ≥ 0} ∪ {0}，其中(f)是函数f的除子。L(D)的维数记为l(D)。 对于曲线C，我们定义它的亏格g，这可以理解为曲线拓扑上的"洞数"（在复数情形下）或更代数地定义为dim H^1(C, O_ C)。 现在考虑典范除子K，即任意非零微分形式的除子。典范除子的次数deg(K) = 2g - 2。 代数曲线上的Riemann-Roch定理表述为：对任意除子D，有 l(D) - l(K - D) = deg(D) + 1 - g 当deg(D) > 2g - 2时，l(K - D) = 0，此时定理简化为l(D) = deg(D) + 1 - g。 对于高维代数簇，我们需要更复杂的概念。设X是n维光滑射影簇，D是X上的除子。我们考虑层上同调群H^i(X, O_ X(D))，其维数记为h^i(D)。 高维Riemann-Roch定理涉及陈特征ch(D)和托德类td(X)。具体形式是： ∑(-1)^i h^i(D) = ∫_ X ch(D)·td(X) 这个定理将代数不变量（上同调维数）与拓扑不变量（陈类积分）联系起来，是代数几何中的核心结果之一。