卡拉西奥多里延拓定理
字数 2886 2025-11-02 10:10:41

卡拉西奥多里延拓定理

  1. 问题的引入：从半代数到σ-代数
    在测度论中，我们常常希望在一个给定的集合 \(X\) 上定义一个测度。一个非常自然的想法是，先在一个相对简单、结构良好的集类（例如，由所有区间构成的集类）上定义测度，然后再想办法把这个测度“扩展”到更复杂的集类（例如包含所有区间的σ-代数）上去。卡拉西奥多里延拓定理就提供了一个系统性的、强有力的方法，告诉我们如何从一个定义在某个“半代数” \(\mathcal{S}\) 上的、具有特定性质的“预测度” \(\mu_0\)，唯一地延拓成一个定义在由 \(\mathcal{S} 生成的σ-代数 \( \sigma(\mathcal{S})\) 上的测度 \(\mu\)。

  2. 核心概念的定义
    为了精确表述这个定理，我们需要明确几个关键概念：

  • 半代数 \(\mathcal{S}\): 这是一个满足以下条件的集类：
  1. \(\emptyset \in \mathcal{S}\) (空集在集类中)。
  2. 如果 \(A, B \in \mathcal{S}\)，那么 \(A \cap B \in \mathcal{S}\) (对有限交封闭)。
  3. 如果 \(A \in \mathcal{S}\)，那么 \(A\) 的补集可以表示为 \(\mathcal{S}\) 中有限个互不相交集合的并集。一个典型的例子是实数轴上所有左闭右开区间 \([a, b)\) 构成的集类。
  • 预测度 \(\mu_0\)： 这是一个定义在半代数 \(\mathcal{S}\) 上的集函数 \(\mu_0: \mathcal{S} \to [0, \infty]\)，它满足：
  1. \(\mu_0(\emptyset) = 0\)。
  2. σ-可加性： 如果 \(\{A_i\}\) 是 \(\mathcal{S}\) 中一列互不相交的集合，并且它们的并集 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\) 也属于 \(\mathcal{S}\)，那么有 \(\mu_0(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_0(A_i)\)。
  • 外测度 \(\mu^*\)： 由预测度 \(\mu_0\) 诱导出的外测度 \(\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]\) 定义为：对于任意 \(E \subseteq X\)，

\[ \mu^*(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} \mu_0(A_i) : \{A_i\} \subseteq \mathcal{S}, E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right\}. \]

这个定义直观上就是用 \(\mathcal{S}\) 中的集合去“覆盖” \(E\)，并取下确界。外测度对所有子集都有定义，但通常不满足可数可加性。

  • \(\mu^*\)-可测集： 一个集合 \(A \subseteq X\) 被称为是 \(\mu^*\)-可测的，如果对于任意测试集 \(E \subseteq X\)，都有以下的“卡氏条件”成立：

\[ \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c). \]

这个条件意味着集合 \(A\) 能以可加的方式“切割”任意集合 \(E\)。所有 \(\mu^*\)-可测集构成一个σ-代数，记作 \(\mathcal{M}_{\mu^*}\)。

  1. 卡拉西奥多里延拓定理的陈述
    设 \(\mu_0\) 是定义在半代数 \(\mathcal{S}\) 上的一个预测度，\(\mu^*\) 是由其诱导出的外测度，\(\mathcal{M}_{\mu^*}\) 是 \(\mu^*\)-可测集类。那么：
  • 存在性： \(\mu^*\) 在σ-代数 \(\mathcal{M}_{\mu^*}\) 上的限制是一个测度。并且，这个σ-代数 \(\mathcal{M}_{\mu^*}\) 包含了由半代数 \(\mathcal{S}\) 生成的σ-代数 \(\sigma(\mathcal{S})\)，即 \(\sigma(\mathcal{S}) \subseteq \mathcal{M}_{\mu^*}\)。
  • 唯一性： 如果 \(\mu_0\) 在 \(\mathcal{S}\) 上是 σ-有限的 (即存在 \(\mathcal{S}\) 中的一列集合 \(\{S_i\}\) 使得 \(X = \bigcup S_i\) 且 \(\mu_0(S_i) < \infty\))，那么延拓到 \(\sigma(\mathcal{S})\) 上的测度是唯一的。也就是说，如果 \(\nu\) 是 \(\sigma(\mathcal{S})\) 上的另一个测度，并且在 \(\mathcal{S}\) 上与 \(\mu_0\) 相等，那么对于所有 \(A \in \sigma(\mathcal{S})\)，有 \(\nu(A) = \mu^*(A)\)。
  1. 定理的应用与重要性
    卡拉西奥多里延拓定理是构建测度的标准且基础的工具。
  • 勒贝格测度的构造： 这是最经典的应用。我们首先在半代数 \(\mathcal{S}\)（所有左闭右开区间）上定义预测度 \(\mu_0([a, b)) = b - a\)。然后应用该定理，即可将长度这个概念唯一地延拓到由区间生成的σ-代数（即博雷尔σ-代数）上，甚至到一个更大的σ-代数（勒贝格可测集类）上，从而得到勒贝格测度。
  • 乘积测度的构造： 在讨论高维空间（如 \(\mathbb{R}^n\)）上的测度，或者更一般地，两个测度空间的乘积空间上的测度时，该定理也是核心步骤。我们首先在“矩形”集（属于一个半代数）上定义预测度 \(\mu_0(A \times B) = \mu(A)\nu(B)\)，然后通过延拓得到乘积测度。
    • 抽象框架： 该定理提供了一个不依赖于欧几里得空间拓扑结构的纯测度论框架，使得我们可以在一个非常一般的集合上，从简单的集类出发，系统性地构建出我们想要的测度。

总结来说，卡拉西奥多里延拓定理将构建测度这一复杂问题分解为两个相对简单的步骤：1）在一个结构简单的半代数上验证预测度的性质（这通常比较直接）；2）套用定理，自动获得在目标σ-代数上一个完好定义的、唯一的测度。它是连接直观的“初等”测度与严格的现代测度理论的桥梁。

卡拉西奥多里延拓定理 问题的引入：从半代数到σ-代数 在测度论中，我们常常希望在一个给定的集合 \( X \) 上定义一个测度。一个非常自然的想法是，先在一个相对简单、结构良好的集类（例如，由所有区间构成的集类）上定义测度，然后再想办法把这个测度“扩展”到更复杂的集类（例如包含所有区间的σ-代数）上去。卡拉西奥多里延拓定理就提供了一个系统性的、强有力的方法，告诉我们如何从一个定义在某个“半代数” \( \mathcal{S} \) 上的、具有特定性质的“预测度” \( \mu_ 0 \)，唯一地延拓成一个定义在由 \( \mathcal{S} 生成的σ-代数 \( \sigma(\mathcal{S}) \) 上的测度 \( \mu \)。 核心概念的定义 为了精确表述这个定理，我们需要明确几个关键概念： 半代数 \( \mathcal{S} \) : 这是一个满足以下条件的集类： \( \emptyset \in \mathcal{S} \) (空集在集类中)。 如果 \( A, B \in \mathcal{S} \)，那么 \( A \cap B \in \mathcal{S} \) (对有限交封闭)。 如果 \( A \in \mathcal{S} \)，那么 \( A \) 的补集可以表示为 \( \mathcal{S} \) 中有限个 互不相交 集合的并集。一个典型的例子是实数轴上所有左闭右开区间 \( [ a, b) \) 构成的集类。 预测度 \( \mu_ 0 \) ： 这是一个定义在半代数 \( \mathcal{S} \) 上的集函数 \( \mu_ 0: \mathcal{S} \to [ 0, \infty ] \)，它满足： \( \mu_ 0(\emptyset) = 0 \)。 σ-可加性 ： 如果 \( \{A_ i\} \) 是 \( \mathcal{S} \) 中一列互不相交的集合，并且它们的并集 \( \bigcup_ {i=1}^{\infty} A_ i \) 也属于 \( \mathcal{S} \)，那么有 \( \mu_ 0(\bigcup_ {i=1}^{\infty} A_ i) = \sum_ {i=1}^{\infty} \mu_ 0(A_ i) \)。 外测度 \( \mu^* \) ： 由预测度 \( \mu_ 0 \) 诱导出的外测度 \( \mu^ : \mathcal{P}(X) \to [ 0, \infty ] \) 定义为：对于任意 \( E \subseteq X \)， \[ \mu^ (E) = \inf \left\{ \sum_ {i=1}^{\infty} \mu_ 0(A_ i) : \{A_ i\} \subseteq \mathcal{S}, E \subseteq \bigcup_ {i=1}^{\infty} A_ i \right\}. \] 这个定义直观上就是用 \( \mathcal{S} \) 中的集合去“覆盖” \( E \)，并取下确界。外测度对所有子集都有定义，但通常不满足可数可加性。 \( \mu^* \)-可测集 ： 一个集合 \( A \subseteq X \) 被称为是 \( \mu^* \)-可测的，如果对于任意测试集 \( E \subseteq X \)，都有以下的“卡氏条件”成立： \[ \mu^ (E) = \mu^ (E \cap A) + \mu^ (E \cap A^c). \] 这个条件意味着集合 \( A \) 能以可加的方式“切割”任意集合 \( E \)。所有 \( \mu^ \)-可测集构成一个σ-代数，记作 \( \mathcal{M}_ {\mu^* } \)。 卡拉西奥多里延拓定理的陈述 设 \( \mu_ 0 \) 是定义在半代数 \( \mathcal{S} \) 上的一个预测度，\( \mu^* \) 是由其诱导出的外测度，\( \mathcal{M}_ {\mu^ } \) 是 \( \mu^ \)-可测集类。那么： 存在性 ： \( \mu^* \) 在σ-代数 \( \mathcal{M} {\mu^* } \) 上的限制是一个测度。并且，这个σ-代数 \( \mathcal{M} {\mu^ } \) 包含了由半代数 \( \mathcal{S} \) 生成的σ-代数 \( \sigma(\mathcal{S}) \)，即 \( \sigma(\mathcal{S}) \subseteq \mathcal{M}_ {\mu^ } \)。 唯一性 ： 如果 \( \mu_ 0 \) 在 \( \mathcal{S} \) 上是 σ-有限的 (即存在 \( \mathcal{S} \) 中的一列集合 \( \{S_ i\} \) 使得 \( X = \bigcup S_ i \) 且 \( \mu_ 0(S_ i) < \infty \))，那么延拓到 \( \sigma(\mathcal{S}) \) 上的测度是唯一的。也就是说，如果 \( \nu \) 是 \( \sigma(\mathcal{S}) \) 上的另一个测度，并且在 \( \mathcal{S} \) 上与 \( \mu_ 0 \) 相等，那么对于所有 \( A \in \sigma(\mathcal{S}) \)，有 \( \nu(A) = \mu^* (A) \)。 定理的应用与重要性 卡拉西奥多里延拓定理是构建测度的标准且基础的工具。 勒贝格测度的构造 ： 这是最经典的应用。我们首先在半代数 \( \mathcal{S} \)（所有左闭右开区间）上定义预测度 \( \mu_ 0( [ a, b)) = b - a \)。然后应用该定理，即可将长度这个概念唯一地延拓到由区间生成的σ-代数（即博雷尔σ-代数）上，甚至到一个更大的σ-代数（勒贝格可测集类）上，从而得到勒贝格测度。 乘积测度的构造 ： 在讨论高维空间（如 \( \mathbb{R}^n \)）上的测度，或者更一般地，两个测度空间的乘积空间上的测度时，该定理也是核心步骤。我们首先在“矩形”集（属于一个半代数）上定义预测度 \( \mu_ 0(A \times B) = \mu(A)\nu(B) \)，然后通过延拓得到乘积测度。 抽象框架 ： 该定理提供了一个不依赖于欧几里得空间拓扑结构的纯测度论框架，使得我们可以在一个非常一般的集合上，从简单的集类出发，系统性地构建出我们想要的测度。 总结来说，卡拉西奥多里延拓定理将构建测度这一复杂问题分解为两个相对简单的步骤：1）在一个结构简单的半代数上验证预测度的性质（这通常比较直接）；2）套用定理，自动获得在目标σ-代数上一个完好定义的、唯一的测度。它是连接直观的“初等”测度与严格的现代测度理论的桥梁。