博雷尔-σ-代数的紧生成性 博雷尔-σ-代数的紧生成性是一个描述博雷尔集与紧集之间关系的性质。我们首先回顾博雷尔-σ-代数的定义：在一个拓扑空间（如欧几里得空间）中，博雷尔-σ-代数是包含所有开集的最小σ-代数。紧生成性则强调，该σ-代数可以由紧集生成。 步骤1：理解紧生成性的定义 一个拓扑空间上的博雷尔-σ-代数被称为 紧生成的 ，如果每一个博雷尔集都可以表示为某个紧集族的可数并集与可数交集的操作结果。更精确地说，对于任意博雷尔集B，存在紧集族{K_ n}，使得B属于由{K_ n}生成的σ-代数。在局部紧豪斯多夫空间（如R^n）中，这一性质等价于：博雷尔-σ-代数是由所有紧集生成的σ-代数。 步骤2：为何紧生成性重要？ 在测度论中，紧生成性确保了博雷尔测度的“正则性”。例如，在局部紧豪斯多夫空间中，如果博雷尔-σ-代数是紧生成的，那么任何博雷尔测度都满足内正则性：测度可以通过紧集从内部逼近。这简化了测度的计算和分析，尤其在证明极限定理或构造随机过程时非常有用。 步骤3：紧生成性的证明思路 以欧几里得空间R^n为例： 所有闭集都是博雷尔集，而紧集在R^n中等价于有界闭集。 任意开集可以表示为可数个闭球的并集（利用有理中心半径），而闭球是紧的。 由于σ-代数对可数并封闭，开集属于由紧集生成的σ-代数。 因此，整个博雷尔-σ-代数由紧集生成。 步骤4：紧生成性的推广 在更一般的波兰空间（完备可度量化空间）中，紧生成性可能不成立，但若空间是σ-紧的（即可表示为可数个紧集的并），则博雷尔-σ-代数仍具有类似性质。这一性质在随机分析和动力系统中有广泛应用，例如在描述马尔可夫过程的轨道时。