圆的渐开线与渐屈线的曲率关系
圆的渐开线（involute）和渐屈线（evolute）是相互依存的一对曲线。渐屈线是渐开线的曲率中心轨迹，而渐开线是渐屈线的展开线。下面从曲率的角度逐步分析二者的关系。
1. 曲率的基本定义
曲率 \(\kappa\) 描述曲线在某一点的弯曲程度，定义为切线方向对弧长的变化率：
\[\kappa = \frac{d\theta}{ds} \]
其中 \(\theta\) 是切线角度，\(s\) 是弧长。对于半径为 \(R\) 的圆，曲率恒为 \(\kappa = \frac{1}{R}\)。
2. 渐开线的曲率
- 圆的渐开线定义为：一条绷紧的绳子从圆周上展开时，端点轨迹。
- 若圆的半径为 \(R\)，渐开线的参数方程为：
\[x = R(\cos t + t \sin t), \quad y = R(\sin t - t \cos t) \]
- 其曲率公式为：
\[\kappa_{\text{inv}} = \frac{1}{R t} \]
推导要点：
- 计算一阶导数 \((dx/dt, dy/dt)\) 和二阶导数。
- 代入曲率公式 \(\kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}\)。
- 化简后得到 \(\kappa_{\text{inv}} = \frac{1}{R t}\)。
- 关键结论：渐开线的曲率与参数 \(t\)（展开的弧长对应的角度）成反比。
3. 渐屈线的曲率中心
- 渐屈线是渐开线所有曲率中心的集合。
- 对于渐开线上参数为 \(t\) 的点，其曲率中心位于渐屈线上，且距离渐开线点的距离为曲率半径 \(\rho = \frac{1}{\kappa} = R t\)。
- 圆的渐开线的渐屈线恰好是圆本身（半径为 \(R\) 的圆）。
验证：- 渐开线的曲率中心坐标为：
\[ X = x - \frac{y'}{\kappa (x'^2 + y'^2)^{1/2}}, \quad Y = y + \frac{x'}{\kappa (x'^2 + y'^2)^{1/2}} \]
代入计算可得 \((X, Y) = (R \cos t, R \sin t)\)，即圆的参数方程。
4. 渐屈线的曲率
- 圆的渐屈线（即圆）的曲率恒为 \(\kappa_{\text{e}} = \frac{1}{R}\)。
- 一般地，渐屈线的曲率与渐开线的曲率变化相关：
\[ \kappa_{\text{e}} = \frac{d\phi}{ds_e} \]
其中 \(\phi\) 是渐屈线切线角度，\(s_e\) 是渐屈线弧长。
- 对于圆的渐开线，渐屈线是圆，曲率恒定。
5. 曲率关系的几何意义
- 渐开线的曲率随展开长度增加而减小（\(\kappa \propto 1/t\)），而渐屈线的曲率保持不变。
- 渐开线与渐屈线的弧长满足：
\[ ds_{\text{inv}} = \rho \, d\phi = R t \, d\phi \]
这反映了曲率中心沿渐屈线移动时，渐开线的展开速度与曲率半径成正比。
6. 推广到一般曲线
- 对任意光滑曲线，渐屈线的曲率 \(\kappa_e\) 与渐开线的曲率 \(\kappa\) 满足：
\[ \kappa_e = \left| \frac{d\kappa}{ds} \right| / \kappa^2 \]
推导基于曲率中心坐标对弧长的求导。
- 圆的渐开线是特例：\(\kappa = 1/(R t)\)，\(\frac{d\kappa}{ds} = -1/(R^2 t^2)\)，代入得 \(\kappa_e = 1/R\)。
通过以上步骤，你可以理解圆的渐开线与渐屈线如何通过曲率相互关联，以及曲率中心轨迹的几何本质。