复变函数的幂级数展开的唯一性
幂级数展开的唯一性指：若复变函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，且在某点 \(z_0 \in D\) 的邻域内能展开为幂级数
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n, \]
则该展开式是唯一的，即系数 \(a_n\) 由函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的各阶导数唯一确定：
\[a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}. \]
1. 唯一性的直观理解
若存在另一种展开 \(f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (z - z_0)^n\)，则两边在 \(z_0\) 处求导：
- 代入 \(z = z_0\) 得 \(a_0 = f(z_0) = b_0\)；
- 对两边求一阶导数后代入 \(z = z_0\)，得 \(a_1 = f'(z_0) = b_1\)；
- 依此类推，所有系数均相等。
2. 唯一性的严格证明
设两个幂级数在 \(z_0\) 的邻域内收敛到同一函数：
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (z - z_0)^n. \]
令 \(c_n = a_n - b_n\)，则
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n = 0. \]
需证明所有 \(c_n = 0\)。
步骤：
- 代入 \(z = z_0\) 得 \(c_0 = 0\)；
- 两边除以 \((z - z_0)\)（\(z \neq z_0\)）：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} c_n (z - z_0)^{n-1} = 0. \]
再令 \(z \to z_0\)，得 \(c_1 = 0\)；
3. 重复此过程，归纳可得所有 \(c_n = 0\)。
3. 唯一性的推论与应用
- 解析函数的唯一确定：若两个解析函数在含 \(z_0\) 的邻域内相等，则它们在公共定义域内完全一致（由唯一性定理与解析延拓关联）。
- 幂级数展开的灵活性：同一函数在不同点的展开式形式不同（如 \(\frac{1}{1-z}\) 在 \(z=0\) 与 \(z=1/2\) 处的展开），但每点的展开唯一。
- 恒等定理的基础：唯一性是证明“若解析函数在区域内有聚点相等的零点，则函数恒为零”的关键步骤。
4. 唯一性与收敛半径的关系
唯一性不依赖收敛半径的大小，但收敛半径由展开中心到最近奇点的距离决定。例如，函数 \(\frac{1}{1+z^2}\) 在 \(z=0\) 处展开的收敛半径为 1（奇点在 \(\pm i\)），但展开系数仍唯一。
5. 反例：非解析函数不满足唯一性
实函数的泰勒展开可能不唯一（如 \(f(x) = e^{-1/x^2}\) 在 \(x=0\) 处所有导数为零，但函数不恒为零），但复变函数中解析性保证了唯一性。若函数在 \(z_0\) 不解析，则无法展开为幂级数，唯一性问题不出现。
通过唯一性，复变函数的幂级数展开成为研究解析函数结构的核心工具，并直接支撑了恒等定理、解析延拓等重要理论。