代数簇的相交数 代数簇的相交数是代数几何中一个核心概念，用于精确描述两个或多个子簇在空间中相交的“程度”。这个概念将几何直观转化为严谨的数学量。 第一步：从几何直观到初步定义 想象一条曲线（一维代数簇）和一个曲面（二维代数簇）在三维空间中相交。在最简单、最理想的情况下，它们可能只在有限个孤立的点上相交。例如，一条直线与一个圆可能相交于0、1或2个点。这个“相交点的个数”就是最朴素的相交数的概念。 然而，事情往往更复杂： 相切 ：如果直线与圆相切，它们虽然在一点接触，但这种相交比简单的横截相交（transverse intersection）“更弱”。从某种角度说，它们算作一个交点，但我们需要一个更精细的数值来区分相切和横截相交。 高维相交 ：两个曲面在三维空间中相交，通常不会形成孤立的点，而是一条曲线。我们如何计算它们的“相交数”？ 为了解决这些问题，我们需要一个更普遍、更精确的定义。 第二步：引入贝祖定理作为原型 在经典代数几何中，贝祖定理（Bézout's Theorem）提供了一个完美的范例。它指出，在复射影平面上，两条分别由m次和n次多项式定义的代数曲线（假设没有公共分支），它们的相交点数恰好是m n。这个数值m n就是这两条曲线的相交数。 这个定理揭示了相交数的两个关键特性： 局部性 ：即使两条曲线在多个点相交，总的相交数是各个交点处局部相交数的总和。 重数 ：在相切的情况下，该交点处的局部相交数大于1。例如，一条直线与一个圆相切，该点的局部相交数被定义为2。这样，总的相交数1* 2=2就由这一个重数为2的交点贡献。 因此，相交数的精确定义必须包含“局部相交重数”的概念。 第三步：严格定义相交数（在光滑情形下） 假设我们有一个d维的光滑代数簇X（例如，d维的流形），以及两个子簇Y和Z。我们希望定义它们在X中的一个不可约分支W上的局部相交数 \( i(Y, Z; W) \)。以下是标准的定义方法（Serre's Tor公式）： 设 \( \mathcal{O} {X, W} \) 是代数簇X在（一般点属于）W处的局部环。令 \( I_ Y \) 和 \( I_ Z \) 分别是子簇Y和Z的理想。那么，Y和Z在W上的相交数定义为： \[ i(Y, Z; W) = \sum {i=0}^{\dim X} (-1)^i \, \text{length} {\mathcal{O} {X, W}} \, \text{Tor} i^{\mathcal{O} {X, W}} (\mathcal{O} {X, W}/I_ Y, \mathcal{O} {X, W}/I_ Z) \] 这个公式的直观解释是： Tor函子 测量了两个子簇的“偏离横截相交”的程度。如果Y和Z在W处横截相交（即最理想的相交状态），那么所有高阶Tor项（i>0）都为零，而Tor_ 0项给出了我们期望的几何维数。 交错和 确保了即使Y和Z的维数之和超过X的维数（即它们“本应”不相交，但强制相交了），这个公式仍然能给出一个良定义的整数。它本质上是一种“减法”，以消除由于非横截性带来的多余维数。 如果Y和Z只在有限个点相交，那么总的相交数就是所有交点局部相交数的和。 第四步：理解相交数的关键性质 相交数理论之所以强大，是因为它满足一系列优美的性质，使其易于计算和推理： 对称性 ：\( i(Y, Z; W) = i(Z, Y; W) \)。相交数与子簇的顺序无关。 加法性 ：如果子簇Y可以写成两个子簇Y1和Y2的并（或更一般地，在周环中有Y = Y1 + Y2），那么相交数也具有可加性：\( i(Y, Z; W) = i(Y1, Z; W) + i(Y2, Z; W) \)。 平移不变性 ：在仿射空间或阿贝尔簇中，如果将Y或Z进行平移，它们的相交数保持不变。 非负性 ：在大多数几何上相关的情况下，相交数是非负的整数。它为负的情况通常对应于更抽象的代数构造。 第五步：相交理论的应用与推广 相交数不仅仅是计数工具，它是整个相交理论的基石： 周环（Chow Ring） ：通过将子簇按照有理等价关系分类，并利用相交数作为环的乘法，我们可以构造一个代数簇的周环。在这个环中，两个子簇的“乘积”就是它们的相交类。这极大地简化了几何问题的代数处理。 枚举几何 ：相交理论是枚举几何的核心。例如，“通过5个一般点的平面三次曲线有多少条？”这类问题最终可以转化为计算某个特定代数簇上的相交数。 推广到奇异簇 ：即使在代数簇X不是光滑的情况下，通过更复杂的技术（如使用拉回和Gysin映射），也可以发展出完整的相交理论。 总结来说，代数簇的相交数是一个将几何相交的直观概念精确定量化的强大工具。它从简单的计数出发，通过引入局部重数和同调代数方法，最终发展成为现代代数几何中连接几何、代数和拓扑的桥梁——相交理论。