代数簇的商空间 代数簇的商空间是代数几何中研究群作用下的轨道空间构造的核心概念。它通过将几何对象在对称性作用下“折叠”来构建新的空间，同时保留必要的代数或几何结构。以下是逐步讲解： 1. 群作用与轨道 群作用 ：设代数群 \( G \) 作用于代数簇 \( X \)（例如 \( G \) 是线性代数群，\( X \) 是仿射或射影簇）。作用由态射 \( G \times X \to X \) 给出，满足群运算兼容性。 轨道 ：对点 \( x \in X \)，其轨道为 \( G \cdot x = \{ g \cdot x \mid g \in G \} \)。商空间的目标是将每个轨道视为一个点。 2. 朴素商集的困难 若直接取集合 \( X / G \)（轨道集合），通常无法自然赋予代数簇结构： 轨道可能非闭（导致商拓扑非豪斯多夫）； 正则函数可能无法下降为商集的函数（即 \( k[ X ]^G \) 不足以描述商空间）。 3. 几何不变量理论（GIT）框架 GIT 通过“稳定点”和“半稳定点”的概念构造良定义的商空间： 不变函数环 ：考虑坐标环 \( k[ X] \) 中 \( G \)-不变子环 \( k[ X]^G \)。若 \( k[ X]^G \) 是有限生成 \( k \)-代数，则对应仿射簇 \( X/\!/G := \mathrm{Spec}(k[ X]^G) \)，称为 仿射商 。 例子 ：若 \( G \) 是有限群且 \( \mathrm{char}(k) \nmid |G| \)，则 \( X/\!/G \) 是几何商（轨道与点一一对应）。 4. 稳定性的分层 半稳定点 \( X^{\mathrm{ss}} \)：满足存在非零不变齐次多项式不在该点消失的点。 稳定点 \( X^{\mathrm{s}} \)：轨道闭且稳定化子有限。 GIT 商构造为 \( X/\!/G := \mathrm{Proj}(\bigoplus_ {d \ge 0} k[ X]^{G} {d}) \)（射影情形），其中 \( k[ X]^{G} {d} \) 是 \( d \) 次不变齐次函数。 5. 商空间的几何性质 万有性质 ：商态射 \( X^{\mathrm{ss}} \to X/\!/G \) 将轨道映为点，且任何 \( G \)-不变态射均通过该商分解。 轨道分离 ：商空间中的点对应闭轨道（若轨道不闭，则对应其闭包内的唯一闭轨道）。 6. 应用与例子 模空间构造 ：如向量丛的模空间可通过商空间 \( \mathrm{Quot} \) 概形的 GIT 商实现。 射影空间的商 ：如圆锥曲线 \( \{x^2 + y^2 = z^2\} \) 在 \( \mathbb{C}^* \) 缩放作用下的商为 \( \mathbb{P}^1 \)。 通过以上步骤，代数簇的商空间从群作用的直观概念逐步深化为 GIT 的严格构造，解决了轨道空间的代数几何实现问题，并为模理论提供基础工具。