里斯-索伯列夫空间中的嵌入定理 我们先从回顾里斯-索伯列夫空间的定义开始。对于一个开集 Ω ⊆ ℝⁿ 和一个实数 p (满足 1 ≤ p ≤ ∞)，索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 定义为所有在 Ω 上局部可积的函数 u 的集合，使得 u 及其直到 k 阶的所有弱导数都属于 L^p(Ω)。其范数定义为所有直到 k 阶的弱导数的 L^p 范数的和。 现在，我们考虑不同的索伯列夫空间之间，以及索伯列夫空间与其他函数空间（如连续函数空间或 L^p 空间）之间的关系。嵌入定理研究的正是这种关系：它描述了在什么条件下，一个索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 可以“嵌入”到另一个函数空间 Y(Ω) 中。这里的“嵌入”通常指两种操作： 连续嵌入 ：存在一个常数 C，使得对于所有 u ∈ W^{k,p}(Ω)，有 ||u|| Y ≤ C ||u|| {W^{k,p}}。这意味着 W^{k,p}(Ω) 不仅是 Y(Ω) 的子集，而且其拓扑结构比 Y(Ω) 更强（即 W^{k,p} 中的收敛蕴含在 Y 中的收敛）。 紧嵌入 ：不仅存在连续嵌入，而且 W^{k,p}(Ω) 中的有界集在 Y(Ω) 中是相对紧的（即其闭包是紧集）。这通常意味着可以从 W^{k,p} 中的序列中提取在 Y 中收敛的子列。 嵌入是否成立，关键取决于三个参数：空间的维数 n、函数的光滑度 k 和可积性指数 p。一个核心的不等式——索伯列夫不等式——是许多嵌入定理的基础。 对于 1 ≤ p < n，索伯列夫共轭指数 p* 定义为 p* = np/(n-p)。索伯列夫不等式断言，存在一个常数 C，使得对于所有 u ∈ W^{1,p}(ℝⁿ)，有 ||u|| {L^{p* }} ≤ C ||∇u|| {L^p}。这意味着 W^{1,p}(ℝⁿ) 可以连续嵌入到 L^{p* }(ℝⁿ) 中。当 p > n 时，情况则完全不同：莫雷引理表明，W^{1,p}(Ω) 中的函数实际上是一个霍尔德连续函数（在某种意义下），即 W^{1,p}(Ω) 可以嵌入到霍尔德连续空间 C^{0,γ}(Ωˉ) 中，其中 γ = 1 - n/p。 基于这些基本不等式，我们可以系统地阐述一般的嵌入定理。设 Ω 是 ℝⁿ 中的一个具有 Lipschitz 边界的有界开集（这是一种保证边界“足够好”的技术条件），m 和 k 是非负整数，且 1 ≤ p < ∞。 索伯列夫嵌入定理 指出： 如果 kp < n，那么 W^{k,p}(Ω) 可以连续嵌入到 L^q(Ω) 中，其中 q 满足 1/q = 1/p - k/n（即 q = np/(n-kp)），并且对于所有 q* < q 也成立。特别地，嵌入到 L^{np/(n-kp)}(Ω) 是连续的。 如果 kp = n，那么 W^{k,p}(Ω) 可以连续嵌入到 L^q(Ω) 中，对于所有有限的 q ≥ p 都成立。 如果 kp > n，那么 W^{k,p}(Ω) 可以连续嵌入到霍尔德空间 C^{m,γ}(Ωˉ) 中，其中 m 是满足 m < k - n/p 的最大整数，而 γ = k - n/p - m（如果 k - n/p 不是整数）或 γ 是 (0,1) 中的任意数（如果 k - n/p 是整数）。 雷利希-康德拉索夫紧性定理 是嵌入定理的强化版本，它指出了在什么条件下上述的连续嵌入实际上是紧嵌入： 如果 kp < n，那么嵌入 W^{k,p}(Ω) ↪ L^q(Ω) 是紧的，只要 1 ≤ q < np/(n-kp)（即 q 严格小于索伯列夫共轭指数）。 如果 kp = n，那么嵌入 W^{k,p}(Ω) ↪ L^q(Ω) 是紧的，对于所有有限的 q ≥ 1 都成立。 如果 kp > n，那么嵌入 W^{k,p}(Ω) ↪ C^{m,γ‘}(Ωˉ) 是紧的，只要 γ’ < γ。 这些定理在偏微分方程的理论和数值分析中具有根本的重要性。例如，紧嵌入定理使得我们能够证明解的存在性，因为它允许我们从某个索伯列夫空间中的有界序列里提取一个在更强范数下收敛的子序列。