量子力学中的Wigner-Ville分布

1. 经典相空间与量子力学的根本区别
   在经典力学中，一个粒子的状态可以用相空间中的点 \((q, p)\)（位置和动量）精确描述。但量子力学受不确定性原理限制，位置和动量无法同时确定。为了在量子力学中研究相空间的性质，需要一种工具将波函数或密度矩阵映射到类经典的相空间分布函数上，Wigner-Ville分布（简称Wigner分布）正是此类工具的核心代表。

2. Wigner分布的定义
   对于一维量子系统，若其波函数为 \(\psi(x)\)，则Wigner分布定义为：

\[ W(x, p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x+y) \psi(x-y) e^{2 i p y / \hbar} dy \]

其中积分变量 \(y\) 表示位置的相对位移。该定义通过波函数的叠加构造一个实函数，同时依赖位置 \(x\) 和动量 \(p\)，形式上类似于联合概率密度。

3. 关键数学性质

   • 实性：\(W(x, p) \in \mathbb{R}\)，但取值可正可负。负值是非经典性的体现，如干涉现象。
   • 边缘分布：对 \(p\) 积分得位置概率密度 \(\int W(x, p) dp = |\psi(x)|^2\)；对 \(x\) 积分得动量概率密度 \(\int W(x, p) dx = |\tilde{\psi}(p)|^2\)。
   • 平移协变性：波函数平移或动量平移时，Wigner分布相应平移。
   • Moyal积关系：Wigner分布是Weyl量子化的相空间表示，其星积（Moyal积）对应算符乘积。

4. 与密度矩阵的联系
   对于混合态，密度矩阵 \(\rho(x, x')\) 的Wigner分布推广为：

\[ W(x, p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int \rho(x+y, x-y) e^{2 i p y / \hbar} dy \]

此时Wigner分布可描述统计混合态，且满足归一化 \(\iint W(x, p) dx dp = \operatorname{Tr}(\rho) = 1\)。

5. 应用与局限性
   • 量子动力学：通过Wigner函数可数值求解量子输运方程（如Wigner-Moyal方程）。
   • 量子光学：用于分析光场的非经典态（如压缩态）。
   • 局限性：负值区域使其无法解释为经典概率，且高维系统计算复杂。改进方案有Husimi-Q分布（通过高斯平滑消除负值，但损失分辨率）。

Wigner分布本质是量子相空间表示理论的基石，连接了量子统计与经典直观。