量子力学中的正规算符
字数 2877 2025-11-02 00:38:01

量子力学中的正规算符

1. 基础概念：从线性代数到希尔伯特空间
在有限维线性代数中，我们熟悉正规矩阵。一个矩阵 \(N\) 被称为正规的，如果它与其共轭转置 \(N^\dagger\) 可交换，即 \(N N^\dagger = N^\dagger N\)。例如，埃尔米特矩阵（\(H^\dagger = H\)）、酉矩阵（\(U^\dagger U = I\)）都是正规矩阵。正规矩阵的关键性质是它可以被酉对角化，即存在一个酉矩阵 \(U\)，使得 \(U^\dagger N U\) 是对角矩阵。这意味着存在一组正交基（由 \(U\) 的列向量构成），在这组基下，矩阵 \(N\) 的作用仅仅是伸缩变换。

在量子力学中，系统的状态存在于一个希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\) 中（可能是无限维的），可观测量和对称变换由算子（或称算符）表示。我们需要将“正规矩阵”的概念推广到可能无界的算子上去。

2. 正规算子的定义
设 \(\mathcal{H}\) 是一个复希尔伯特空间。一个（可能无界的）稠定算子 \(N: D(N) \subset \mathcal{H} \to \mathcal{H}\) 被称为正规算子，如果它满足以下两个条件：

  1. \(N\) 是闭算子。
  2. \(N\) 与其伴随算子 \(N^*\) 可交换：\(N N^* = N^* N\)。

这里需要详细解释几个关键点：

  • 稠定：算子 \(N\) 的定义域 \(D(N)\) 是 \(\mathcal{H}\) 的一个稠密子空间。这保证了伴随算子 \(N^*\) 的存在是良定义的。
  • 闭算子：粗略地说，算子的图像 \(\{ (\psi, N\psi) \in \mathcal{H} \times \mathcal{H} : \psi \in D(N) \}\) 在 \(\mathcal{H} \times \mathcal{H}\) 中是闭的。这确保了算子具有良好的“极限行为”，是谱理论能应用于无界算子的基本要求。
  • 伴随算子 \(N^*\)：对于无界算子，其伴随算子的定义域 \(D(N^*)\) 是所有使得线性泛函 \(\phi \mapsto \langle \chi, N\phi \rangle\) 有界（从而由Riesz表示定理，存在一个唯一的向量 \(\eta\) 满足 \(\langle \eta, \phi \rangle = \langle \chi, N\phi \rangle\)）的向量 \(\chi \in \mathcal{H}\) 构成的集合。对于这样的 \(\chi\)，我们定义 \(N^* \chi = \eta\)。可交换性 \(N N^* = N^* N\) 意味着不仅算子作用结果相等，更重要的是它们的定义域也相等：\(D(N N^*) = D(N^* N)\)。

3. 正规算子的重要特例
正规算子的定义涵盖了量子力学中最重要的一类算子：

  • 自伴算子：如果 \(N^* = N\)，则 \(N\) 是自伴的。自伴算子显然是正规的（\(N N = N N\)）。在量子力学中，可观测量（如位置、动量、哈密顿量）由自伴算子表示，因为它们的谱是实数，对应可能的测量结果。
  • 酉算子：如果 \(N^* = N^{-1}\)（即 \(N^* N = N N^* = I\)），则 \(N\) 是酉的。酉算子也是正规的。它们通常表示系统的对称变换或时间演化（如在薛定谔绘景中），保持了内积（即概率幅）不变。

4. 正规算子的谱定理
正规算子最核心、最强大的性质是其谱定理。这个定理是有限维空间中“酉对角化”在无限维空间中的完美推广。

谱定理（对于有界正规算子）：如果 \(N\) 是希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\) 上的一个有界正规算子，则存在一个唯一的谱测度 \(E\)（定义在复数平面 \(\mathbb{C}\) 的博雷尔集上，其值为 \(\mathcal{H}\) 上的投影算子），使得：

\[N = \int_{\mathbb{C}} \lambda \, dE(\lambda) \]

这个积分可以理解为对“谱变量” \(\lambda\) 的积分。算子 \(N\) 的作用可以看作是在由谱测度 \(E\) 所确定的“广义坐标系”下，用复数值 \(\lambda\) 对向量进行“伸缩”和“旋转”。

对于无界正规算子，谱定理依然成立，但积分区域是算子谱集 \(\sigma(N) \subset \mathbb{C}\)：

\[N = \int_{\sigma(N)} \lambda \, dE(\lambda) \]

并且，算子的定义域 \(D(N)\) 恰好是那些满足 \(\int_{\sigma(N)} |\lambda|^2 d\langle \psi, E(\lambda)\psi \rangle < \infty\) 的向量 \(\psi \in \mathcal{H}\) 的集合。

5. 物理意义与应用
正规算子的谱定理在量子力学中具有根本性的重要性：

  • 测量诠释：对于一个由正规算子 \(A\) 表示的可观测量（若为自伴算子，谱为实数），谱定理中的谱测度 \(E\) 直接与测量公设相联系。测量结果落在博雷尔集 \(\Delta \subset \mathbb{R}\) 中的概率为 \(\langle \psi, E(\Delta)\psi \rangle\)。测量后系统的状态坍缩到子空间 \(E(\Delta)\mathcal{H}\) 中。
  • 函数演算：谱定理允许我们对正规算子定义函数。例如，给定一个复值函数 \(f\)，我们可以定义算子 \(f(N)\) 为：

\[ f(N) = \int_{\sigma(N)} f(\lambda) \, dE(\lambda) \]

这在量子力学中极其有用。例如，时间演化算子 \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\) 就是哈密顿量 \(H\)（自伴算子）的指数函数。同样，酉算子的对数、热力学中的密度矩阵 \(\rho = e^{-\beta H}\) 等都可以通过此方式定义。

  • 对角化：谱定理实质上实现了正规算子的“对角化”。虽然无限维空间可能没有真正的特征向量基，但谱定理提供了等价的、更强大的积分形式，使得算子可以被其谱值完全描述。

总结来说，正规算子是量子力学数学框架的支柱之一。它通过谱定理将算子的抽象代数性质与其谱的几何性质联系起来，为量子态的表示、可观测量的测量以及时间演化提供了坚实的数学基础。

量子力学中的正规算符 1. 基础概念：从线性代数到希尔伯特空间 在有限维线性代数中，我们熟悉正规矩阵。一个矩阵 \( N \) 被称为正规的，如果它与其共轭转置 \( N^\dagger \) 可交换，即 \( N N^\dagger = N^\dagger N \)。例如，埃尔米特矩阵（\( H^\dagger = H \)）、酉矩阵（\( U^\dagger U = I \)）都是正规矩阵。正规矩阵的关键性质是它可以被酉对角化，即存在一个酉矩阵 \( U \)，使得 \( U^\dagger N U \) 是对角矩阵。这意味着存在一组正交基（由 \( U \) 的列向量构成），在这组基下，矩阵 \( N \) 的作用仅仅是伸缩变换。 在量子力学中，系统的状态存在于一个希尔伯特空间 \( \mathcal{H} \) 中（可能是无限维的），可观测量和对称变换由算子（或称算符）表示。我们需要将“正规矩阵”的概念推广到可能无界的算子上去。 2. 正规算子的定义 设 \( \mathcal{H} \) 是一个复希尔伯特空间。一个（可能无界的）稠定算子 \( N: D(N) \subset \mathcal{H} \to \mathcal{H} \) 被称为 正规算子 ，如果它满足以下两个条件： \( N \) 是闭算子。 \( N \) 与其伴随算子 \( N^* \) 可交换：\( N N^* = N^* N \)。 这里需要详细解释几个关键点： 稠定 ：算子 \( N \) 的定义域 \( D(N) \) 是 \( \mathcal{H} \) 的一个稠密子空间。这保证了伴随算子 \( N^* \) 的存在是良定义的。 闭算子 ：粗略地说，算子的图像 \( \{ (\psi, N\psi) \in \mathcal{H} \times \mathcal{H} : \psi \in D(N) \} \) 在 \( \mathcal{H} \times \mathcal{H} \) 中是闭的。这确保了算子具有良好的“极限行为”，是谱理论能应用于无界算子的基本要求。 伴随算子 \( N^* \) ：对于无界算子，其伴随算子的定义域 \( D(N^ ) \) 是所有使得线性泛函 \( \phi \mapsto \langle \chi, N\phi \rangle \) 有界（从而由Riesz表示定理，存在一个唯一的向量 \( \eta \) 满足 \( \langle \eta, \phi \rangle = \langle \chi, N\phi \rangle \)）的向量 \( \chi \in \mathcal{H} \) 构成的集合。对于这样的 \( \chi \)，我们定义 \( N^ \chi = \eta \)。可交换性 \( N N^* = N^* N \) 意味着不仅算子作用结果相等，更重要的是它们的定义域也相等：\( D(N N^ ) = D(N^ N) \)。 3. 正规算子的重要特例 正规算子的定义涵盖了量子力学中最重要的一类算子： 自伴算子 ：如果 \( N^* = N \)，则 \( N \) 是自伴的。自伴算子显然是正规的（\( N N = N N \)）。在量子力学中，可观测量（如位置、动量、哈密顿量）由自伴算子表示，因为它们的谱是实数，对应可能的测量结果。 酉算子 ：如果 \( N^* = N^{-1} \)（即 \( N^* N = N N^* = I \)），则 \( N \) 是酉的。酉算子也是正规的。它们通常表示系统的对称变换或时间演化（如在薛定谔绘景中），保持了内积（即概率幅）不变。 4. 正规算子的谱定理 正规算子最核心、最强大的性质是其 谱定理 。这个定理是有限维空间中“酉对角化”在无限维空间中的完美推广。 谱定理（对于有界正规算子） ：如果 \( N \) 是希尔伯特空间 \( \mathcal{H} \) 上的一个有界正规算子，则存在一个唯一的 谱测度 \( E \)（定义在复数平面 \( \mathbb{C} \) 的博雷尔集上，其值为 \( \mathcal{H} \) 上的投影算子），使得： \[ N = \int_ {\mathbb{C}} \lambda \, dE(\lambda) \] 这个积分可以理解为对“谱变量” \( \lambda \) 的积分。算子 \( N \) 的作用可以看作是在由谱测度 \( E \) 所确定的“广义坐标系”下，用复数值 \( \lambda \) 对向量进行“伸缩”和“旋转”。 对于 无界正规算子 ，谱定理依然成立，但积分区域是算子谱集 \( \sigma(N) \subset \mathbb{C} \)： \[ N = \int_ {\sigma(N)} \lambda \, dE(\lambda) \] 并且，算子的定义域 \( D(N) \) 恰好是那些满足 \( \int_ {\sigma(N)} |\lambda|^2 d\langle \psi, E(\lambda)\psi \rangle < \infty \) 的向量 \( \psi \in \mathcal{H} \) 的集合。 5. 物理意义与应用 正规算子的谱定理在量子力学中具有根本性的重要性： 测量诠释 ：对于一个由正规算子 \( A \) 表示的可观测量（若为自伴算子，谱为实数），谱定理中的谱测度 \( E \) 直接与测量公设相联系。测量结果落在博雷尔集 \( \Delta \subset \mathbb{R} \) 中的概率为 \( \langle \psi, E(\Delta)\psi \rangle \)。测量后系统的状态坍缩到子空间 \( E(\Delta)\mathcal{H} \) 中。 函数演算 ：谱定理允许我们对正规算子定义函数。例如，给定一个复值函数 \( f \)，我们可以定义算子 \( f(N) \) 为： \[ f(N) = \int_ {\sigma(N)} f(\lambda) \, dE(\lambda) \] 这在量子力学中极其有用。例如，时间演化算子 \( U(t) = e^{-iHt/\hbar} \) 就是哈密顿量 \( H \)（自伴算子）的指数函数。同样，酉算子的对数、热力学中的密度矩阵 \( \rho = e^{-\beta H} \) 等都可以通过此方式定义。 对角化 ：谱定理实质上实现了正规算子的“对角化”。虽然无限维空间可能没有真正的特征向量基，但谱定理提供了等价的、更强大的积分形式，使得算子可以被其谱值完全描述。 总结来说，正规算子是量子力学数学框架的支柱之一。它通过谱定理将算子的抽象代数性质与其谱的几何性质联系起来，为量子态的表示、可观测量的测量以及时间演化提供了坚实的数学基础。