仿射代数簇的仿射坐标环 第一步：仿射代数簇的回顾 仿射代数簇 \( X \) 是仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 中由多项式方程组 \( f_ 1(x_ 1, \dots, x_ n) = 0, \dots, f_ m(x_ 1, \dots, x_ n) = 0 \) 定义的零点集合，其中 \( f_ i \in k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \)（\( k \) 为代数闭域）。例如，抛物线 \( y - x^2 = 0 \) 是 \( \mathbb{A}^2 \) 中的仿射代数簇。 第二步：仿射坐标环的定义 设 \( X \subseteq \mathbb{A}^n \) 是仿射代数簇，其理想 \( I(X) = \{ f \in k[ x_ 1, \dots, x_ n] \mid f(p) = 0, \forall p \in X \} \)。 仿射坐标环 定义为商环： \[ k[ X] = k[ x_ 1, \dots, x_ n ] / I(X). \] 它的元素是多项式函数在 \( X \) 上的限制，两个多项式在 \( k[ X ] \) 中等价当且仅当它们在 \( X \) 上取值相同。 第三步：几何解释 \( k[ X] \) 中的每个元素可视为 \( X \to k \) 的 正则函数 （即可由多项式定义的函数）。 例如，若 \( X \) 为抛物线 \( y = x^2 \)，则 \( k[ X] \cong k[ x ] \)，因为 \( y \) 可由 \( x^2 \) 表示，环中的关系为 \( y - x^2 = 0 \)。 第四步：函子性质与态射 若 \( \phi: X \to Y \) 是仿射簇的态射（即分量均为正则函数的映射），则它诱导环同态 \( \phi^ : k[ Y] \to k[ X] \)，定义为 \( \phi^ (f) = f \circ \phi \)。反之，任一 \( k \)-代数同态 \( k[ Y] \to k[ X ] \) 也对应一个态射 \( X \to Y \)。这建立了仿射簇范畴与有限生成既约 \( k \)-代数范畴的反等价。 第五步：环的几何性质对应 \( X \) 不可约当且仅当 \( k[ X ] \) 是整环。 \( X \) 的维数等于 \( k[ X ] \) 的克鲁尔维数。 点 \( p \in X \) 对应极大理想 \( \mathfrak{m}_ p = \{ f \in k[ X ] \mid f(p) = 0 \} \)。 第六步：与局部化的关系 对子集 \( U \subseteq X \)，可定义 \( U \) 上的正则函数环 \( \mathcal{O}_ X(U) \)。当 \( U = X_ f = \{ p \in X \mid f(p) \neq 0 \} \) 时，有 \( \mathcal{O}_ X(X_ f) = k[ X]_ f \)（即 \( k[ X ] \) 对 \( f \) 的局部化）。这为Zariski拓扑上的层结构奠定基础。 第七步：推广到一般概形 仿射坐标环是仿射概形结构层的全局截面环的特例。在概形论中，任意环 \( R \) 对应一个仿射概形 \( \operatorname{Spec} R \)，其“坐标环”就是 \( R \) 本身。