量子力学中的Møller波算子 散射理论的基本问题 在量子力学中，散射理论研究粒子碰撞过程中的渐近行为。核心问题是：当时间 \( t \to \pm \infty \) 时，系统的演化能否近似为自由粒子？设总哈密顿量 \( H = H_ 0 + V \)，其中 \( H_ 0 \) 是自由部分，\( V \) 是相互作用势。Møller波算子的目标是建立自由态 \( |\psi_ {\text{in/out}}\rangle \) 与相互作用态 \( |\psi\rangle \) 的对应关系。 渐近自由与波算子的定义 若势函数 \( V \) 在空间远处衰减足够快（如满足短程条件），则当 \( t \to \mp \infty \) 时，相互作用态应趋近于自由态： \[ \lim_ {t \to \mp \infty} \| e^{-iHt} |\psi\rangle - e^{-iH_ 0 t} |\psi_ {\text{in/out}}\rangle \| = 0. \] 通过比较演化算符，定义 入射波算子 \( \Omega_ + \) 和 出射波算子 \( \Omega_ - \)： \[ \Omega_ \pm = \lim_ {t \to \mp \infty} e^{iHt} e^{-iH_ 0 t}, \] 其中极限在强算子拓扑下取。若极限存在，则 \( \Omega_ \pm \) 将自由态映射到相互作用态： \( |\psi\rangle = \Omega_ \pm |\psi_ {\text{in/out}}\rangle \). 波算子的数学性质 等距性 ：若 \( H_ 0 \) 的连续谱部分绝对连续，则 \( \Omega_ \pm \) 是等距算子，即 \( \Omega_ \pm^* \Omega_ \pm = I \)（保持内积）。 交织性 ：波算子满足 \( H \Omega_ \pm = \Omega_ \pm H_ 0 \)，表明它们将自由哈密顿量的作用映射到总哈密顿量。 完备性 ：若 \( \text{Ran}(\Omega_ +) = \text{Ran}(\Omega_ -) \)（值域相等），则散射过程可逆，散射算符 \( S = \Omega_ -^* \Omega_ + \) 为酉算子。 存在性与Cook方法 波算子的存在性需要势函数 \( V \) 满足特定衰减条件。 Cook定理 给出一个经典判据：若 \( V \) 相对 \( H_ 0 \) 是相对紧的，且对某个 \( \varepsilon > 0 \) 有 \( \| V e^{-iH_ 0 t} \psi \| \in L^1(\mathbb{R}_ \pm) \)（对稠密子集中的 \( \psi \) 成立），则极限存在。例如，库仑势需更精细处理，但短程势（如指数衰减）可直接应用。 与散射算符的关系 散射算符 \( S = \Omega_ -^* \Omega_ + \) 将入射渐近态映射到出射渐近态： \( |\psi_ {\text{out}}\rangle = S |\psi_ {\text{in}}\rangle \)。其矩阵元 \( \langle k' | S | k \rangle \) 包含微分截面信息。Møller算符的存在保证了 \( S \) 的酉性，是概率守恒的数学基础。 广义应用与扩展 波算符的概念可推广至多体散射、量子场论及非自治系统。在时间相关散射中，需用 时间依赖的Møller算子 \( \Omega_ \pm(t) = e^{iHt} e^{-iH_ 0 t} \)，并研究其渐近行为。此外，在奇异势或长程势（如库仑势）中，需引入修正的自由哈密顿量或 Dollard 修正项。