李代数
字数 2027 2025-11-02 00:38:01

李代数

李代数是满足特定代数结构的非结合代数，得名于数学家索菲斯·李。其核心思想是通过“李括号”描述对称性对象（如李群）的局部结构。以下是循序渐进的讲解：

1. 基本定义与李括号

李代数是定义在域（如实数域或复数域）上的向量空间 \(\mathfrak{g}\)，配有一个双线性映射 \([\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\)（称为李括号），满足以下性质：

  1. 反交换性：对任意 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)，有 \([X, Y] = -[Y, X]\)。
  2. 雅可比恒等式：对任意 \(X, Y, Z \in \mathfrak{g}\)，有

\[ [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0. \]

李括号不满足结合律，但雅可比恒等式可视为结合律的替代形式。

示例：三维向量空间 \(\mathbb{R}^3\) 以向量叉积作为李括号，即 \([X, Y] = X \times Y\)，满足上述性质。

2. 李代数与李群的关系

李群是兼具光滑流形结构的群（如旋转群 \(SO(3)\)）。在单位元附近，李群的局部线性化结构即为李代数：

  • 李代数元素是李群在单位元处的切向量。
  • 李括号对应李群中交换子的无穷小近似。例如，对矩阵李群，李括号定义为 \([X, Y] = XY - YX\)。

关键结论：每个李群对应唯一一个李代数，但不同李群可能共享同一李代数（如 \(SO(3)\) 和 \(SU(2)\)）。

3. 结构常数与基表示

若李代数 \(\mathfrak{g}\) 有一组基 \(\{e_1, \dots, e_n\}\)，李括号完全由结构常数 \(c_{ij}^k\) 决定：

\[[e_i, e_j] = \sum_{k=1}^n c_{ij}^k e_k. \]

反交换性和雅可比恒等式转化为对结构常数的约束：

  • \(c_{ij}^k = -c_{ji}^k\)，
  • \(\sum_m (c_{ij}^m c_{mk}^l + c_{jk}^m c_{mi}^l + c_{ki}^m c_{mj}^l) = 0\)。

4. 子代数、理想与单李代数

  • 子代数：子空间 \(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h}\)。
  • 理想：子空间 \(\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([\mathfrak{g}, \mathfrak{i}] \subset \mathfrak{i}\)。若李代数只有平凡理想（{0} 和自身），则称为单李代数。
  • 商代数：若 \(\mathfrak{i}\) 是理想，则商空间 \(\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\) 自然构成李代数。

5. 同态与表示论

李代数同态 \(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\) 是线性映射且保持李括号：\(\phi([X, Y]) = [\phi(X), \phi(Y)]\)。

  • 表示：李代数 \(\mathfrak{g}\) 在向量空间 \(V\) 上的线性作用，即同态 \(\rho: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\)，其中 \(\mathfrak{gl}(V)\) 是 \(V\) 上全体线性变换的李代数。
  • 伴随表示：李代数自身可通过伴随映射 \(\mathrm{ad}_X(Y) = [X, Y]\) 作用在自己上，这是李代数的内在表示。

6. 半单李代数与分类定理

若李代数可分解为单李代数的直和，则称为半单李代数。嘉当和基灵完成了复半单李代数的完全分类：

  • 通过根系（根向量在抽象欧几里得空间中的配置）分类。
  • 四大无限系列：\(A_n, B_n, C_n, D_n\)（对应特殊线性群、正交群、辛群等）。
  • 五个例外李代数：\(G_2, F_4, E_6, E_7, E_8\)。

7. 应用与推广

李代数在数学和物理中广泛应用：

  • 微分几何：李群作用下的不变向量场。
  • 理论物理：规范场论（如标准模型）的对称性由李代数描述。
  • 量子力学：角动量算符满足 \(so(3)\) 李代数关系。
  • 形变理论：李代数可推广到 \(L_\infty\)-代数等高阶结构。

通过以上步骤，李代数的核心概念从基本定义逐步延伸到前沿应用，揭示了其作为连接连续对称性与离散代数结构的桥梁作用。

李代数 李代数是满足特定代数结构的非结合代数，得名于数学家索菲斯·李。其核心思想是通过“李括号”描述对称性对象（如李群）的局部结构。以下是循序渐进的讲解： 1. 基本定义与李括号 李代数是定义在域（如实数域或复数域）上的向量空间 \(\mathfrak{g}\)，配有一个双线性映射 \([ \cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\)（称为 李括号 ），满足以下性质： 反交换性 ：对任意 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)，有 \([ X, Y] = -[ Y, X ]\)。 雅可比恒等式 ：对任意 \(X, Y, Z \in \mathfrak{g}\)，有 \[ [ X, [ Y, Z]] + [ Y, [ Z, X]] + [ Z, [ X, Y] ] = 0. \] 李括号不满足结合律，但雅可比恒等式可视为结合律的替代形式。 示例 ：三维向量空间 \(\mathbb{R}^3\) 以向量叉积作为李括号，即 \([ X, Y ] = X \times Y\)，满足上述性质。 2. 李代数与李群的关系 李群是兼具光滑流形结构的群（如旋转群 \(SO(3)\)）。在单位元附近，李群的局部线性化结构即为李代数： 李代数元素是李群在单位元处的 切向量 。 李括号对应李群中交换子的无穷小近似。例如，对矩阵李群，李括号定义为 \([ X, Y ] = XY - YX\)。 关键结论 ：每个李群对应唯一一个李代数，但不同李群可能共享同一李代数（如 \(SO(3)\) 和 \(SU(2)\)）。 3. 结构常数与基表示 若李代数 \(\mathfrak{g}\) 有一组基 \(\{e_ 1, \dots, e_ n\}\)，李括号完全由 结构常数 \(c_ {ij}^k\) 决定： \[ [ e_ i, e_ j] = \sum_ {k=1}^n c_ {ij}^k e_ k. \] 反交换性和雅可比恒等式转化为对结构常数的约束： \(c_ {ij}^k = -c_ {ji}^k\)， \(\sum_ m (c_ {ij}^m c_ {mk}^l + c_ {jk}^m c_ {mi}^l + c_ {ki}^m c_ {mj}^l) = 0\)。 4. 子代数、理想与单李代数 子代数 ：子空间 \(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([ \mathfrak{h}, \mathfrak{h} ] \subset \mathfrak{h}\)。 理想 ：子空间 \(\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([ \mathfrak{g}, \mathfrak{i}] \subset \mathfrak{i}\)。若李代数只有平凡理想（\{0\} 和自身），则称为 单李代数 。 商代数 ：若 \(\mathfrak{i}\) 是理想，则商空间 \(\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\) 自然构成李代数。 5. 同态与表示论 李代数同态 \(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\) 是线性映射且保持李括号：\(\phi([ X, Y]) = [ \phi(X), \phi(Y) ]\)。 表示 ：李代数 \(\mathfrak{g}\) 在向量空间 \(V\) 上的线性作用，即同态 \(\rho: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\)，其中 \(\mathfrak{gl}(V)\) 是 \(V\) 上全体线性变换的李代数。 伴随表示 ：李代数自身可通过伴随映射 \(\mathrm{ad}_ X(Y) = [ X, Y ]\) 作用在自己上，这是李代数的内在表示。 6. 半单李代数与分类定理 若李代数可分解为单李代数的直和，则称为 半单李代数 。嘉当和基灵完成了复半单李代数的完全分类： 通过 根系 （根向量在抽象欧几里得空间中的配置）分类。 四大无限系列：\(A_ n, B_ n, C_ n, D_ n\)（对应特殊线性群、正交群、辛群等）。 五个例外李代数：\(G_ 2, F_ 4, E_ 6, E_ 7, E_ 8\)。 7. 应用与推广 李代数在数学和物理中广泛应用： 微分几何 ：李群作用下的不变向量场。 理论物理 ：规范场论（如标准模型）的对称性由李代数描述。 量子力学 ：角动量算符满足 \(so(3)\) 李代数关系。 形变理论 ：李代数可推广到 \(L_ \infty\)-代数等高阶结构。 通过以上步骤，李代数的核心概念从基本定义逐步延伸到前沿应用，揭示了其作为连接连续对称性与离散代数结构的桥梁作用。