代数簇的周环 代数簇的周环是代数几何中研究代数簇的相交理论的重要工具。它通过将代数簇的子簇按照有理等价关系分类，形成一个环结构，从而将几何的相交问题转化为代数运算。 首先，从代数簇的子簇出发。设X是一个代数簇，X的子簇是指X的不可约闭子集。例如，在仿射平面中，一条曲线或一个点都是子簇。所有子簇的有理线性组合构成一个自由阿贝尔群，称为循环群，记作Z(X)。循环群中的元素称为循环，形式为∑n_ i V_ i，其中n_ i是整数，V_ i是X的子簇。 接下来，引入有理等价关系。两个循环是有理等价的，如果它们属于同一个代数簇的族。具体来说，对于循环A和B，若存在一个平坦族参数化的曲线，使得A和B是该族的两个特殊纤维，则A与B有理等价。例如，在射影平面中，所有直线都是有理等价的。有理等价关系是循环群上的等价关系，商群CH(X) = Z(X) / 有理等价称为X的周群。周群中的元素称为周类。 然后，定义周环的结构。周环是周群配备一个乘法运算，称为相交积。对于两个周类α和β，它们的相交积α·β定义为几何相交的代数化。具体地，若α和β由子簇V和W代表，且在一般位置下横截相交，则α·β由交V∩W的周类代表，并计入重数。例如，在平面上，两条直线相交于一个点，其相交积就是这个点的周类。通过移动引理，可以证明相交积良定义，且使CH(X)成为一个交换环，称为周环。 进一步，讨论周环的函子性质。若f: X → Y是代数簇的态射，则存在拉回同态f* : CH(Y) → CH(X)和推前同态f_* : CH(X) → CH(Y)（当f是固有态射时）。拉回是环同态，而推前是群同态，满足投影公式等性质。这使得周环成为代数几何中的一种上同调理论。 最后，周环与上同调理论的联系。对于光滑射影代数簇，周环与上同调环有密切关系。例如，在复数域上，周环到奇异上同调的映射（循环类映射）是一个环同态，但通常不是同构，因为周环能捕捉更精细的代数信息，如代数等价类。周环的计算常涉及分解成更简单的环，如射影空间的周环同构于Z[ H ]/(H^{n+1})，其中H是超平面类。