复变函数的极限与连续性的深入讨论 我们先从复变函数极限的定义开始。设函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 的某个去心邻域内有定义，若存在复数 \( L \)，使得对任意给定的 \( \epsilon > 0 \)，都存在 \( \delta > 0 \)，使得当 \( 0 < |z - z_ 0| < \delta \) 时，有 \( |f(z) - L| < \epsilon \)，则称 \( f(z) \) 在 \( z \to z_ 0 \) 时的极限为 \( L \)，记作 \( \lim_ {z \to z_ 0} f(z) = L \)。 接下来，我们讨论复变函数连续性的定义。若函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 处满足 \( \lim_ {z \to z_ 0} f(z) = f(z_ 0) \)，则称 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 处连续。若 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内每一点都连续，则称 \( f(z) \) 在 \( D \) 上连续。 现在，我们深入探讨复变函数极限与实变函数极限的区别。复变函数的极限是二维的，因为 \( z \) 可以沿任意路径趋近于 \( z_ 0 \)。这与实变函数中仅从左或右两个方向趋近不同。因此，复变函数极限的存在要求更严格：必须保证无论 \( z \) 以何种方式趋近于 \( z_ 0 \)，极限值都相同。 我们进一步分析连续性的性质。复变函数的连续性具有局部性质：若 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 处连续，则存在 \( z_ 0 \) 的一个邻域，使得 \( f(z) \) 在该邻域内连续。此外，连续复变函数经过四则运算（除法时分母不为零）和复合运算后仍保持连续性。 最后，我们讨论连续性与可微性的关系。在复变函数中，连续性是可微性的必要条件但不是充分条件。即使函数在某点连续，它也可能在该点不可微（即不满足柯西-黎曼方程）。这一点与实变函数不同，体现了复可微性的更强要求。