数学中“表示论”思想的形成与发展 表示论的核心思想是用具体的、易于理解的对象（如矩阵或线性变换）来研究抽象的代数结构（如群、环、李代数等）。它的发展深刻地改变了代数学的面貌。 第一步：早期萌芽——群作用与置换表示 表示论的根源可以追溯到19世纪的群论。埃瓦里斯特·伽罗瓦在研究代数方程的可解性时，已经隐含地使用了群在根集合上的“作用”思想。一个群G“作用”在一个集合X上，意味着G中的每个元素都能将X中的元素进行置换。这种作用本身就提供了一种将抽象的群元素具体化为X上的置换的方法，这可以看作是最早的“表示”—— 置换表示 。 随后，菲利克斯·克莱因在埃尔兰根纲领中强调，几何学是研究变换群及其不变量的学科。这进一步强化了“通过群的具体作用来研究抽象结构”的思想。例如，三维空间的旋转群可以具体地作用于空间中的点或向量。这些早期的例子虽然未形成系统理论，但为表示论播下了种子。 第二步：创始阶段——有限群的线性表示 表示论的真正创立通常归功于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。在19世纪末，他受到理查德·戴德金关于群行列式工作的启发，系统性地创立了 有限群的线性表示理论 。 核心定义 ：一个有限群G的 线性表示 ，本质上是一个从群G到某个向量空间V上的一般线性群GL(V)的 同态 。简单来说，就是为G中的每个元素g分配一个V上的可逆线性变换ρ(g)，并且保持群的乘法结构（即ρ(g₁g₂) = ρ(g₁)ρ(g₂)）。向量空间V的维数被称为表示的 维数 或 次数 。特别地，当V是一维时，表示就是群到非零复数乘法群（C* ）的同态，也称为 特征标 。 关键突破 ：弗罗贝尼乌斯引入了 不可约表示 的概念。如果一个表示不能分解为两个更小的表示的直和，则称其为不可约的。他发现，不可约表示就像是构成所有表示的“原子”。对于有限群，任何表示都可以分解为有限多个不可约表示的直和（类似于算术基本定理）。 特征标理论 ：为了研究这些表示，弗罗贝尼乌斯发展了 特征标理论 。表示的特征标是一个从群G到复数C的函数，它将每个群元素g映射到其对应线性变换ρ(g)的 迹 。迹是一个数，它比整个矩阵（线性变换）更容易计算和比较。弗罗贝尼乌斯证明了，两个表示是等价的当且仅当它们的特征标相同。更重要的是，不可约表示的特征标满足一系列优美的正交关系，这使得我们可以用纯算术的方法来分析和分类表示。 威廉·伯恩赛德等人进一步发展了这一理论，并将其应用于有限群的结构研究，例如证明了著名的“p^a q^b定理”。 第三步：扩展与深化——连续群与李代数的表示 20世纪初，表示论的研究对象从离散的有限群扩展到连续的群，如 紧李群 （例如旋转群SO(3)）和更一般的 局部紧拓扑群 。 紧群的表示 ：赫尔曼·外尔和弗里茨·彼得合作，将有限群表示论的许多优美结果推广到了紧群上。他们证明了 彼得-外尔定理 ，指出紧群的不可约表示都是有限维的，并且满足类似的正交关系。此外，任何表示（包括重要的 正则表示 ）都可以分解为不可约表示的直和（或更一般地，直积分）。这为研究经典李群（如酉群、正交群）的对称性提供了强大工具。 李代数的表示 ：埃利·嘉当和外尔等人研究了半单李代数的表示。李代数是李群的“无穷小”版本（切空间）。嘉当分类了复半单李代数的有限维不可约表示，并引入了 最高权理论 ，为每个不可约表示分配一个称为 最高权 的标识符。这一理论极其深刻和完整，成为表示论的典范。 第四步：新时代与抽象化——无限维表示与范畴论观点 20世纪中叶以后，表示论进入了一个全新的阶段，其广度和深度都急剧扩展。 无限维表示 ：对非紧群（如洛伦兹群、SL(2,R)）的研究催生了 无限维表示理论 。此时的表示空间是无限维的希尔伯特空间。这项工作由维克托·巴格曼、伊斯拉埃尔·盖尔范德等人推动，并在哈瑞希-钱德拉关于半单李群的表示论中达到顶峰，他建立了庞大的“哈瑞希-钱德拉模”理论。 朗兰兹纲领 ：罗伯特·朗兰兹在20世纪60年代末提出了一个宏大的猜想网络，即 朗兰兹纲领 。它惊人地将数论（伽罗瓦群的表示）与调和分析（代数群的自守表示）联系起来。这个纲领成为了现代数论和表示论的核心驱动力，显示出表示论思想具有统一数学不同领域的巨大潜力。 范畴论视角 ：随着范畴论的发展，表示论获得了更抽象和统一的框架。一个群G的表示范畴，本质上就是 函子范畴 ，从由G生成的单对象范畴到向量空间范畴的函子构成的范畴。这种观点使得可以将表示论的思想推广到其他代数结构（如群胚、范畴）的表示上，极大地拓宽了表示论的外延。 总结来说，表示论从有限群的具体矩阵表示出发，逐步发展为研究李群、李代数、代数群乃至更抽象结构的强大语言和工具。其思想核心——用“具体”的线性变换来揭示“抽象”代数结构的内在对称性——不仅深刻影响了纯数学的各个分支（代数、几何、数论），也在量子物理（对称性对应于守恒律）等领域发挥着至关重要的作用。