好的，我们开始学习一个新的词条：复分析中的留数定理（Residue Theorem in Complex Analysis）。
留数定理是复分析中一个核心且强大的工具，它极大地简化了复积分的计算，并在实积分、级数求和等领域有广泛应用。我们将从最基础的概念开始，逐步深入。
第一步：回顾孤立奇点
要理解留数，首先需要理解函数在复平面上的“奇点”，即函数不可解析的点。
- 孤立奇点：如果函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处不解析，但在 \(z_0\) 的某个去心邻域（即去掉 \(z_0\) 本身的一个小圆盘）内处处解析，则称 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的孤立奇点。
- 例子：函数 \(f(z) = \frac{1}{z}\) 在 \(z=0\) 处有一个孤立奇点。
- 反例：函数 \(f(z) = \frac{1}{\sin(1/z)}\) 在 \(z=0\) 处不是孤立奇点，因为在任意小的去心邻域内，它都有无穷多个奇点（由 \(\sin(1/z)=0\) 引起）。
- 孤立奇点的分类：根据函数在奇点附近的行为，孤立奇点可分为三类：
- 可去奇点：函数在 \(z_0\) 附近有界。例如，\(f(z) = \frac{\sin z}{z}\) 在 \(z=0\) 处是可去奇点（通过定义 \(f(0)=1\) 可使其解析）。
- 极点：函数在 \(z_0\) 附近趋向于无穷大。例如，\(f(z) = \frac{1}{z^n}\) (\(n\) 为正整数) 在 \(z=0\) 处是极点。极点的“阶”描述了它趋向无穷大的速度。\(\frac{1}{z^3}\) 有一个三阶极点。
- 本性奇点：函数在 \(z_0\) 附近的行为极其复杂，不存在有限或无穷的极限。例如，\(f(z) = e^{1/z}\) 在 \(z=0\) 处是本性奇点（根据魏尔斯特拉斯定理，它在任何去心邻域内的像都稠密于整个复平面）。
第二步：洛朗级数与留数的定义
在奇点 \(z_0\) 的去心邻域内，函数 \(f(z)\) 可以展开成一个称为洛朗级数的幂级数，它包含负幂次项：
\[f(z) = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots \]
- 留数的定义：在这个洛朗级数展开中，系数 \(a_{-1}\) 被称为函数 \(f(z)\) 在奇点 \(z_0\) 处的留数，记作 \(\text{Res}(f, z_0)\)。
- 数学表达：\(\text{Res}(f, z_0) = a_{-1}\)。
- 为什么是 \(a_{-1}\)？ 回顾柯西积分定理，对于一个简单闭合路径（围道）\(C\)，如果它内部只包含一个奇点 \(z_0\)，我们将 \(f(z)\) 用洛朗级数代入积分：
\[ \oint_C f(z) \, dz = \oint_C \left[ \cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + \cdots \right] dz \]
根据已知结论，对于任意整数 \(n \neq -1\)，\(\oint_C (z-z_0)^n dz = 0\)。唯一的例外是当 \(n = -1\) 时，我们有 \(\oint_C \frac{1}{z-z_0} dz = 2\pi i\)。
因此，整个积分的结果为：
\[ \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot a_{-1} = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0) \]
这表明，留数 \(a_{-1}\) 完全决定了函数沿闭合路径积分的行为。
第三步：留数定理的陈述
现在，我们将上述思想推广到更一般的情况。
留数定理：设 \(D\) 是复平面上的一个单连通区域，其边界 \(C\) 是一条简单闭合曲线（分段光滑）。如果函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内除有限个孤立奇点 \(z_1, z_2, \dots, z_n\) 外处处解析，并在 \(C\) 上解析，那么有：
\[\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \]
核心思想：一个函数沿闭合路径的积分，等于 \(2\pi i\) 乘以该路径所包围的所有孤立奇点的留数之和。
第四步：如何计算留数（实用技巧）
直接通过洛朗级数展开求 \(a_{-1}\) 有时很繁琐。对于常见的极点类型，有更简便的公式。
- 一阶极点：
- 情况一：如果 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的一阶极点，且 \(f(z)\) 可表示为 \(f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}\)，其中 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 在 \(z_0\) 处解析，且 \(p(z_0) \neq 0\)，\(q(z_0) = 0\)，\(q'(z_0) \neq 0\)。那么留数为：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)} \]
* **情况二（通用公式）**：对于一阶极点，留数也可以通过求极限得到：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \]
- \(m\) 阶极点：
如果 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶极点，则留数由以下公式给出：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] \]
这个公式的本质是：先乘以 \((z-z_0)^m\) 以“消除”奇点，使其变为解析函数，然后求其 \((m-1)\) 阶导数，再除以阶乘因子，最后取极限以提取 \(a_{-1}\) 项。
- 本性奇点：
对于本性奇点，通常没有简单的通用公式。必须通过将函数展开成洛朗级数（例如利用已知的 \(e^z\)，\(\sin z\)，\(\cos z\) 的展开式）来直接找出 \(a_{-1}\) 项的系数。
第五步：一个简单的例子
让我们计算一个积分来应用留数定理。
问题：计算积分 \(\oint_C \frac{e^z}{z^2 + 1} \, dz\)，其中 \(C\) 是圆心在原点、半径为 \(2\) 的逆时针方向的圆。
解答：
- 确定奇点：被积函数 \(f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 1} = \frac{e^z}{(z-i)(z+i)}\)。它在 \(z = i\) 和 \(z = -i\) 处有一阶极点。这两个点都在圆 \(C\) 内部（因为 \(|i| = 1 < 2\)）。
- 计算留数：
- 在 \(z = i\) 处：使用一阶极点公式。
\[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \frac{e^z}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^z}{z+i} = \frac{e^i}{2i} \]
- 在 \(z = -i\) 处：
\[ \text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} (z + i) \cdot \frac{e^z}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to -i} \frac{e^z}{z-i} = \frac{e^{-i}}{-2i} \]
- 应用留数定理：
\[ \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, i) + \text{Res}(f, -i) \right] = 2\pi i \left( \frac{e^i}{2i} + \frac{e^{-i}}{-2i} \right) \]
化简：
\[ = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} (e^i - e^{-i}) = \pi (e^i - e^{-i}) \]
利用欧拉公式 \(e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta\)，我们得到最终结果：
\[ \oint_C \frac{e^z}{z^2 + 1} \, dz = \pi \cdot 2i \sin(1) = 2\pi i \sin(1) \]
这个例子展示了留数定理如何将一个复杂的围道积分计算，转化为相对简单的代数运算（求极限）。其威力在于，我们完全不需要参数化路径 \(C\)。