随机变量的变换的雅可比行列式
字数 2134 2025-11-02 00:38:01

随机变量的变换的雅可比行列式

  1. 基本概念回顾
    当处理随机变量的变换时，我们常常需要求出新随机变量的概率密度函数。例如，若已知随机向量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数 \(f_{X,Y}(x, y)\)，并且我们有两个新的随机变量 \(U = g_1(X, Y)\) 和 \(V = g_2(X, Y)\)。我们的目标是求出 \((U, V)\) 的联合概率密度函数 \(f_{U,V}(u, v)\)。

  2. 变换的可逆性要求
    为了能够进行推导，一个关键前提是变换必须是可逆的。这意味着函数 \(g_1\) 和 \(g_2\) 必须构成一个从 \((X, Y)\) 到 \((U, V)\) 的一一对应映射。因此，我们必须能够将 \(X\) 和 \(Y\) 用 \(U\) 和 \(V\) 表示出来，即存在逆变换：\(X = h_1(U, V)\)， \(Y = h_2(U, V)\)。

  3. 核心思想：概率守恒
    变换方法的核心思想是概率质量在变换下是守恒的。随机点 \((X, Y)\) 落在区域 \(R\) 内的概率，必须等于其变换后的点 \((U, V)\) 落在对应区域 \(S\) 内的概率。用数学公式表达即为：

\[ P((X, Y) \in R) = P((U, V) \in S) \]

其中 \(S\) 是区域 \(R\) 经过变换后得到的区域。

  1. 二维情况下的推导
    将概率用概率密度函数和积分表示出来：

\[ \iint_R f_{X,Y}(x, y) \,dx\,dy = \iint_S f_{U,V}(u, v) \,du\,dv \]

现在，我们需要将右边的积分变量从 \((u, v)\) 换回 \((x, y)\)，以便与左边建立等式关系。这正是一个二重积分的变量变换问题。

  1. 雅可比行列式的引入
    在多重积分中，当进行变量变换时，积分微元 \(dx\,dy\) 和 \(du\,dv\) 之间的关系由一个称为雅可比行列式的因子决定。变换 \((x, y) \to (u, v)\) 的雅可比行列式 \(J\) 定义为：

\[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} \]

其绝对值 \(|J|\) 给出了从 \((x, y)\)-空间到 \((u, v)\)-空间的局部面积伸缩比例。因此，积分微元的变换关系为：

\[ du\,dv = |J| \, dx\,dy \]

然而，在我们的问题中，我们已知的是逆变换 \((u, v) \to (x, y)\)。因此，我们更常使用逆变换的雅可比行列式 \(J^*\)：

\[ J^* = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \]

并且有关系 \(|J| = 1 / |J^*|\)。所以，\(dx\,dy = |J^*| \, du\,dv\)。

  1. 最终公式
    现在，我们将左边的积分进行变量变换（用 \(x = h_1(u, v), y = h_2(u, v)\) 代入）：

\[ \iint_R f_{X,Y}(x, y) \,dx\,dy = \iint_S f_{X,Y}(h_1(u, v), h_2(u, v)) \, |J^*| \, du\,dv \]

由于这个等式对任意区域 \(R\) 和其对应的 \(S\) 都成立，比较两边的被积函数，我们得到最终的变换公式：

\[ f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(h_1(u, v), h_2(u, v)) \cdot |J^*| \]

其中，\(|J^*|\) 是逆变换的雅可比行列式的绝对值。这个公式可以推广到 \(n\) 维随机向量的情形。

  1. 一维情况的特例
    在一维情况下，若 \(Y = g(X)\) 且 \(g\) 是单调可逆函数，其逆函数为 \(X = h(Y)\)。那么变换公式简化为：

\[ f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot \left| \frac{dh}{dy} \right| \]

这里的 \(\left| \frac{dh}{dy} \right|\) 正是一维情形的“雅可比行列式”（即导数的绝对值）。

随机变量的变换的雅可比行列式 基本概念回顾 当处理随机变量的变换时，我们常常需要求出新随机变量的概率密度函数。例如，若已知随机向量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数 \(f_ {X,Y}(x, y)\)，并且我们有两个新的随机变量 \(U = g_ 1(X, Y)\) 和 \(V = g_ 2(X, Y)\)。我们的目标是求出 \((U, V)\) 的联合概率密度函数 \(f_ {U,V}(u, v)\)。 变换的可逆性要求 为了能够进行推导，一个关键前提是变换必须是可逆的。这意味着函数 \(g_ 1\) 和 \(g_ 2\) 必须构成一个从 \((X, Y)\) 到 \((U, V)\) 的一一对应映射。因此，我们必须能够将 \(X\) 和 \(Y\) 用 \(U\) 和 \(V\) 表示出来，即存在逆变换：\(X = h_ 1(U, V)\)， \(Y = h_ 2(U, V)\)。 核心思想：概率守恒 变换方法的核心思想是概率质量在变换下是守恒的。随机点 \((X, Y)\) 落在区域 \(R\) 内的概率，必须等于其变换后的点 \((U, V)\) 落在对应区域 \(S\) 内的概率。用数学公式表达即为： \[ P((X, Y) \in R) = P((U, V) \in S) \] 其中 \(S\) 是区域 \(R\) 经过变换后得到的区域。 二维情况下的推导 将概率用概率密度函数和积分表示出来： \[ \iint_ R f_ {X,Y}(x, y) \,dx\,dy = \iint_ S f_ {U,V}(u, v) \,du\,dv \] 现在，我们需要将右边的积分变量从 \((u, v)\) 换回 \((x, y)\)，以便与左边建立等式关系。这正是一个二重积分的变量变换问题。 雅可比行列式的引入 在多重积分中，当进行变量变换时，积分微元 \(dx\,dy\) 和 \(du\,dv\) 之间的关系由一个称为 雅可比行列式 的因子决定。变换 \((x, y) \to (u, v)\) 的雅可比行列式 \(J\) 定义为： \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} \] 其绝对值 \(|J|\) 给出了从 \((x, y)\)-空间到 \((u, v)\)-空间的局部面积伸缩比例。因此，积分微元的变换关系为： \[ du\,dv = |J| \, dx\,dy \] 然而，在我们的问题中，我们已知的是逆变换 \((u, v) \to (x, y)\)。因此，我们更常使用逆变换的雅可比行列式 \(J^ \)： \[ J^ = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \] 并且有关系 \(|J| = 1 / |J^ |\)。所以，\(dx\,dy = |J^ | \, du\,dv\)。 最终公式 现在，我们将左边的积分进行变量变换（用 \(x = h_ 1(u, v), y = h_ 2(u, v)\) 代入）： \[ \iint_ R f_ {X,Y}(x, y) \,dx\,dy = \iint_ S f_ {X,Y}(h_ 1(u, v), h_ 2(u, v)) \, |J^ | \, du\,dv \] 由于这个等式对任意区域 \(R\) 和其对应的 \(S\) 都成立，比较两边的被积函数，我们得到最终的变换公式： \[ f_ {U,V}(u, v) = f_ {X,Y}(h_ 1(u, v), h_ 2(u, v)) \cdot |J^ | \] 其中，\(|J^* |\) 是逆变换的雅可比行列式的绝对值。这个公式可以推广到 \(n\) 维随机向量的情形。 一维情况的特例 在一维情况下，若 \(Y = g(X)\) 且 \(g\) 是单调可逆函数，其逆函数为 \(X = h(Y)\)。那么变换公式简化为： \[ f_ Y(y) = f_ X(h(y)) \cdot \left| \frac{dh}{dy} \right| \] 这里的 \(\left| \frac{dh}{dy} \right|\) 正是一维情形的“雅可比行列式”（即导数的绝对值）。