索末菲-马蒂方程 索末菲-马蒂方程是电磁波在金属表面传播时，描述表面等离激元极化激元传播特性的一个微分方程。它在纳米光学和等离激元学中具有基础地位。 1. 物理背景：表面等离激元极化激元 想象一下，当光照射到金属表面时，如果条件合适，光的能量可以转化为金属表面自由电子的集体振荡。这种电子密度的波动会与电磁场耦合，形成一种沿着金属-介质界面传播的波，这就是表面等离激元极化激元。索末菲-马蒂方程正是精确描述这种波如何传播的数学模型。 2. 方程的建立：从麦克斯韦方程组出发 索末菲-马蒂方程的推导始于经典的电磁理论——麦克斯韦方程组。我们考虑一个简单的几何结构：一个平面（z=0），上半空间（z>0）是介电常数为ε_ d的电介质（如空气），下半空间（z<0）是介电常数为ε_ m(ω)的金属（如金、银）。ε_ m(ω)是频率ω的复函数，这体现了金属的色散和损耗特性。 步骤1：亥姆霍兹方程 在假设时谐场（随时间以e^{-iωt}变化）的前提下，麦克斯韦方程组可以简化为亥姆霍兹方程。对于电场E，有： ∇²E + k₀²ε E = 0 其中k₀ = ω/c是真空中的波数，c是光速，ε是所处介质的介电常数（在z>0区域为ε_ d，在z<0区域为ε_ m）。 步骤2：边界条件 在金属-电介质界面（z=0）上，电磁场必须满足边界条件：电场的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续（假设界面无自由电荷）。 步骤3：寻求特殊解（表面波解） 我们寻找一种沿界面（例如x方向）传播，但在垂直于界面的方向（z方向）迅速衰减的解。这种解的形式可以设为： E(x, y, z, t) = E(z) e^{i(βx - ωt)} 其中，β是待求的传播常数（通常是复数，β = β' + iβ"，β'决定相位，β"决定损耗）。关键点在于，在电介质中（z>0），场随z增大而指数衰减；在金属中（z <0），场随z减小（向负方向）而指数衰减。 步骤4：推导色散关系 将上述形式的解代入亥姆霍兹方程和边界条件，经过一系列代数运算，可以导出一个决定传播常数β与频率ω之间关系的方程，即色散关系。这个色散关系是索末菲-马蒂理论的核心。 3. 索末菲-马蒂方程的形式 对于最常见的横磁模表面等离激元极化激元，其色散关系（即索末菲-马蒂方程）为： β = k₀ √( ε_ d ε_ m(ω) / (ε_ d + ε_ m(ω)) ) 这个方程告诉我们，表面等离激元极化激元的传播常数β由真空波数k₀、电介质的介电常数ε_ d和金属的介电常数ε_ m(ω)共同决定。 4. 方程的关键特性 束缚性： 要使解在z方向指数衰减，必须要求传播常数β大于电介质中的波数（β > k₀√ε_ d）。这直接导致了ε_ d + ε_ m(ω) < 0。对于贵金属在光学频率下，其ε_ m(ω)实部为较大的负数，恰好满足此条件。 亚波长约束： 由于β > k₀，表面等离激元极化激元的波长（λ_ spp = 2π/β'）小于真空中相同频率的光波波长。这意味着它能将光场压缩到纳米尺度，突破衍射极限。 传播损耗： 由于金属的ε_ m(ω)是复数（虚部代表损耗），传播常数β也是复数。其虚部β"决定了表面等离激元极化激元在传播过程中的衰减长度。 5. 应用与意义 索末菲-马蒂方程是理解和设计所有基于表面等离激元极化激元器件的基础，例如： 超高分辨率显微术 集成光子回路 化学生物传感器 光伏器件的光捕获增强 它提供了一个简洁而强大的框架，将材料的光学属性（ε_ d, ε_ m）与表面波的传播特性（β）直接联系起来。