里斯-索伯列夫空间中的嵌入定理 背景与动机 在实变函数论中，索伯列夫空间（Sobolev space）是研究偏微分方程和变分法的重要工具。它由函数及其弱导数构成，但不同维数的空间之间是否存在包含关系？嵌入定理回答了这一问题：它描述了索伯列夫空间如何“嵌入”到其他函数空间（如连续函数空间或Lp空间），并给出具体的连续或紧嵌入条件。 关键定义：索伯列夫空间 设Ω是ℝⁿ中的开集，k为非负整数，1≤p≤∞。索伯列夫空间Wᵏᵖ(Ω)由所有函数u∈Lᵖ(Ω)组成，其所有阶数≤k的弱导数Dᵃu（其中|α|≤k）均属于Lᵖ(Ω)。其范数定义为： ‖u‖ {Wᵏᵖ} = (∑ {|α|≤k} ‖Dᵃu‖ₗₚᵖ)^{1/p}（当p <∞）。 嵌入的类型 连续嵌入 ：若Wᵏᵖ(Ω) ⊆ Y（如Lq空间），且存在常数C使得‖u‖ Y ≤ C‖u‖ {Wᵏᵖ}，则称Wᵏᵖ连续嵌入到Y，记作Wᵏᵖ(Ω) ↪ Y。 紧嵌入 ：若连续嵌入且单位球在Y中预紧（即任意序列有收敛子列），则嵌入是紧的，记作Wᵏᵖ(Ω) ⋐ Y。 经典索伯列夫嵌入定理 假设Ω具有 Lipschitz边界（或满足锥条件），则： 若kp < n，则Wᵏᵖ(Ω) ↪ Lᵖ* (Ω)，其中p* = np/(n-kp)（临界指数）。 若kp = n，则对任意1≤q <∞，有Wᵏᵖ(Ω) ↪ Lq(Ω)。 若kp > n，则Wᵏᵖ(Ω) ↪ C⁰ᵏ⁻[ n/p]⁻¹(Ω̅)（连续函数空间，其中[ k-n/p ]为取整函数）。 紧嵌入的条件 当Ω有界时： 若kp < n，则Wᵏᵖ(Ω) ⋐ Lq(Ω)对所有1≤q<p* 成立。 若kp = n，则对任意1≤q <∞有紧嵌入。 若kp > n，则Wᵏᵖ(Ω) ⋐ C⁰(Ω̅)。 这些条件反映了维数n、导数阶数k和可积性p之间的微妙平衡。 应用与意义 嵌入定理保证了索伯列夫函数的光滑性或有界性，是解偏微分方程时证明解存在性的关键工具。例如，在变分法中，通过紧嵌入可提取收敛子列，从而证明极小化序列的极限满足方程。