模形式的狄利克雷级数 模形式是复平面上的全纯函数，满足特定的函数方程和增长条件。一个自然的问题是：如何用代数或解析工具来研究模形式的性质？狄利克雷级数提供了将模形式的傅里叶系数转化为生成函数的方法，从而揭示其算术信息。 1. 从傅里叶展开到狄利克雷级数 设 \( f(z) \) 是权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式，其傅里叶展开为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a(n) e^{2\pi i n z}. \] 通过傅里叶系数 \( a(n) \)，可构造狄利克雷级数： \[ L(s, f) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}, \] 其中 \( s \) 是复变量。此级数在 \( \Re(s) \) 足够大时收敛，且系数 \( a(n) \) 的增长率（由模形式的有界性控制）保证了 \( L(s, f) \) 的解析性质。 2. 函数方程与解析延拓 模形式的变换性质（如 \( f(-1/z) = z^k f(z) \)）可推导出 \( L(s, f) \) 的函数方程。引入完备化 \( L \)-函数： \[ \Lambda(s, f) = N^{s/2} (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(s, f), \] 其中 \( \Gamma(s) \) 是伽马函数。模形式的变换性质等价于： \[ \Lambda(s, f) = (-1)^{k/2} \Lambda(k-s, f). \] 此函数方程允许将 \( L(s, f) \) 解析延拓到整个复平面（可能除简单极点外），并揭示了 \( s \leftrightarrow k-s \) 的对称性。 3. 欧拉积与算术含义 若 \( f \) 是 Hecke 特征形式（即所有 Hecke 算子的特征函数），则 \( L(s, f) \) 具有欧拉积展开： \[ L(s, f) = \prod_ {p \nmid N} \left(1 - a(p) p^{-s} + p^{k-1-2s}\right)^{-1} \prod_ {p \mid N} \left(1 - a(p) p^{-s}\right)^{-1}. \] 每个局部因子反映了模形式在素数 \( p \) 处的行为，关联了模形式与数论中的素数分布问题。例如，若 \( f \) 对应一条椭圆曲线，则 \( L(s, f) \) 即为该曲线的哈塞-韦伊 \( L \)-函数。 4. 特殊值与应用 \( L(s, f) \) 在整点处的值常包含深刻算术信息。例如： 在 \( s = k \) 处，\( L(k, f) \) 与模形式的周期积分相关； 在 \( s = 1 \) 处，若 \( f \) 源于椭圆曲线，\( L(1, f) \) 关联到曲线的有理点结构。 此外，\( L \)-函数的零点分布与黎曼猜想推广（如模形式版本的黎曼假设）相关。 5. 推广与深层联系 狄利克雷级数可推广至自守形式，并通过朗兰兹纲领与伽罗瓦表示关联。例如，若 \( f \) 是尖点形式，其 \( L \)-函数可表示为自守表示的标准 \( L \)-函数，进而与几何对象（如 motives）的 \( L \)-函数统一。这一框架是现代数论的核心工具之一。