美式期权的最小二乘蒙特卡洛方法（Least Squares Monte Carlo for American Options） 美式期权的核心挑战 美式期权允许持有人在到期前的任何时间行权，这使其定价比欧式期权复杂得多。 关键问题在于确定最优行权时间，即找到一个策略，在每时刻比较立即行权价值与继续持有期权的期望价值。 在树模型或有限差分法中，可通过逆向递推求解，但蒙特卡洛模拟传统上难以处理此类路径依赖问题。 LSM的基本思想 LSM由Longstaff和Schwartz（2001）提出，核心是用最小二乘法近似继续持有期权的价值。 在模拟的每条路径上，从到期日向前递推，在每一行权时间点，用多项式回归拟合未来现金流的贴现值与当前标的资产价格的关系，从而估算继续持有价值。 通过比较立即行权价值与回归得到的继续持有价值，决定是否行权。 LSM的具体步骤 步骤1：生成标的资产价格路径 。使用几何布朗运动等模型，模拟N条路径的资产价格，离散化为时间点 \( t_ 0, t 1, \dots, t_ M \)。 步骤2：到期日价值 。在到期日 \( t_ M \)，期权价值为行权价值 \( \max(S_ {t_ M} - K, 0) \)（看涨期权为例）。 步骤3：逆向递推 。从 \( t_ {M-1} \) 开始倒推至第一个行权时间点： 对每条路径，计算立即行权价值 \( \max(S_ t - K, 0) \)。 使用最小二乘回归，以当前标的资产价格 \( S_ t \) 为自变量，以未来现金流在 \( t \) 时刻的贴现值 \( Y \) 为因变量，拟合一个函数 \( f(S_ t) \) 来估计继续持有价值。 若立即行权价值 \( \geq f(S_ t) \)，则在该时间点行权，记录现金流。 步骤4：计算期权价格 。将所有路径在行权时间的现金流贴现至初始时间，取平均作为期权价值的无偏估计。 LSM的关键技术细节 基函数选择 ：常用拉盖尔多项式、切比雪夫多项式或简单幂函数，需确保回归的稳定性。 路径筛选 ：仅对"价内"路径（立即行权价值 > 0）进行回归，避免无意义的噪声。 贴现因子 ：使用无风险利率对现金流贴现，注意与模拟路径的随机性一致。 LSM的优缺点 优点 ：突破了蒙特卡洛无法直接处理美式期权的限制；计算效率高于传统树模型，尤其对高维问题。 缺点 ：回归误差可能导致次优行权策略；对基函数和路径数量敏感，收敛性需验证。 LSM的扩展应用 可推广至多资产期权、随机利率、随机波动率等复杂模型。 还可用于处理百慕大期权、可赎回债券等具有多行权日期的金融产品。