博雷尔-σ-代数的正则性 博雷尔-σ-代数的正则性是测度论中的一个核心性质，它描述了在特定拓扑空间（如度量空间或局部紧豪斯多夫空间）上，博雷尔测度如何通过“内部紧近似”和“外部开近似”来刻画可测集。这一性质为测度的计算和逼近提供了有效工具。 1. 预备知识：博雷尔-σ-代数与博雷尔测度 设 \( X \) 是一个拓扑空间（例如欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)），其博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 是由所有开集（或等价地，所有闭集）生成的σ-代数。 一个博雷尔测度 \(\mu\) 是定义在 \(\mathcal{B}(X)\) 上的测度，满足 \(\mu(K) < \infty\) 对任意紧集 \(K \subset X\) 成立（局部有限性）。 2. 正则性的定义 博雷尔测度 \(\mu\) 称为 内正则 （或紧正则），如果对任意博雷尔集 \(E \in \mathcal{B}(X)\)，有： \[ \mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E,\ K \text{是紧集} \}. \] \(\mu\) 称为 外正则 （或开正则），如果对任意博雷尔集 \(E\)，有： \[ \mu(E) = \inf \{ \mu(U) : E \subset U,\ U \text{是开集} \}. \] 若 \(\mu\) 同时满足内正则和外正则，则称为 正则博雷尔测度 。 3. 正则性的直观解释 内正则性 ：任何博雷尔集的测度可由其内部紧子集的测度逼近。例如，在 \(\mathbb{R}^n\) 中，一个开球的测度可通过填充更小的闭球来近似。 外正则性 ：任何博雷尔集的测度可由包含它的开集的测度从外部逼近。例如，一个闭集的测度可通过稍微“膨胀”为开集来近似。 4. 正则性的成立条件 在 完备可分度量空间 （波兰空间）或 局部紧豪斯多夫空间 中，所有局部有限博雷尔测度自动是正则的。 关键证明思路： 构造一个包含所有“可近似”博雷尔集的集合类，证明该类是一个σ-代数且包含所有开集（从而等于整个博雷尔-σ-代数）。 利用拓扑性质：在局部紧空间中，紧集可用开集从外部逼近，开集可用紧集从内部逼近（通过单位分解或乌雷松引理）。 5. 应用示例：勒贝格测度的正则性 在 \(\mathbb{R}^n\) 中，勒贝格测度是正则博雷尔测度。 外正则性：对任意可测集 \(E\)，存在开集 \(U \supset E\) 使得 \(\mu(U \setminus E) < \varepsilon\)。 内正则性：存在紧集 \(K \subset E\) 使得 \(\mu(E \setminus K) < \varepsilon\)。 这一性质是证明卢津定理、勒贝格密度定理等结果的基础。 6. 正则性与测度逼近的实用性 正则性允许将测度计算转化为对“更简单”集合（紧集或开集）的操作。 在概率论中，正则性用于证明随机过程轨道的连续性（科尔莫戈罗夫连续性定理）。 在泛函分析中，正则性是里斯表示定理中测度唯一性的关键。 正则性将博雷尔测度的抽象定义与拓扑空间的几何结构紧密联系，是实变函数论中连接测度与拓扑的桥梁。