哈尔测度的局部紧群推广 我们先从拓扑群的基本概念开始。拓扑群是指一个群 G，同时也是一个拓扑空间，且群运算 (g,h) ↦ gh 和 g ↦ g⁻¹ 都是连续映射。例如，实数加法群 R 就是一个拓扑群。 接下来是局部紧群。如果一个拓扑群的拓扑空间是局部紧的（即每一点都有一个紧邻域），并且是豪斯多夫空间，则称其为局部紧群。常见的例子包括：欧几里得空间 Rⁿ（加法群）、环面 Tⁿ、以及一般线性群 GL(n, R)（在标准拓扑下）。 哈尔定理指出：在任意局部紧群 G 上，存在一个在平移下不变的非零正则博雷尔测度。更精确地说，存在一个测度 μ，满足： 对 G 的所有博雷尔子集有定义； 是局部有限的（每个紧集有有限测度）； 是内正则且外正则的； 是左平移不变的：对任意博雷尔集 E 和任意 g ∈ G，有 μ(gE) = μ(E)。 这样的测度称为左哈尔测度。类似地，也存在右哈尔测度。 哈尔测度的唯一性是指：在相差一个正常数因子的意义下，左哈尔测度是唯一的。也就是说，如果 μ 和 ν 都是 G 上的左哈尔测度，那么存在常数 c > 0，使得对任意博雷尔集 E，有 ν(E) = c μ(E)。 哈尔测度的存在性和唯一性可以推广到更一般的群结构上。一个重要的推广是考虑局部紧群的商空间。如果 H 是局部紧群 G 的闭子群，那么商空间 G/H（赋予商拓扑）在适当条件下也是局部紧空间。此时，可以在 G/H 上构造在 G 作用下不变的测度。 另一个深刻的推广是考虑非交换局部紧群上的模函数。模函数 Δ: G → (0, ∞) 是一个连续同态，它刻画了左哈尔测度与右哈尔测度之间的关系。具体地，如果 μ 是左哈尔测度，那么由 dμᵣ(g) = Δ(g) dμ(g) 定义的 μᵣ 是右哈尔测度。当 Δ ≡ 1 时，称群 G 为幺模群（如阿贝尔群和紧群）。 最一般的推广框架是通过群代数的表示论。考虑局部紧群 G 上的群代数 L¹(G)，哈尔测度的存在性与 G 在 L²(G) 上的正则表示的酉性密切相关。这个观点将哈尔测度与泛函分析和表示论深刻联系起来，为研究非交换群的调和分析奠定了基础。