博雷尔-σ-代数的生成 第一步：从集合系到σ-代数的基本概念 一个集合系（或集类）是指某个基础集X的若干子集构成的集合。例如，X的所有子集构成的幂集P(X)就是一个集合系。σ-代数是一种特殊的集合系，它满足三个条件： 它包含基础集X本身。 对可数并运算封闭（即集合系中任意可数个集合的并集仍属于该集合系）。 对取补集运算封闭（即集合系中任意集合的补集仍属于该集合系）。 第二步：由任意集合系生成σ-代数的思想 给定一个任意的集合系ℰ（它可能非常简单，比如只包含几个集合），我们通常希望研究一个包含ℰ且“尽可能小”的σ-代数。这个“尽可能小”的σ-代数被称为由ℰ生成的σ-代数，记作σ(ℰ)。它的精确定义是：所有包含ℰ的σ-代数的交集。因为幂集P(X)总是包含ℰ的一个σ-代数，所以这个交集非空。可以证明，任意多个σ-代数的交集仍然是一个σ-代数，因此σ(ℰ)确实是包含ℰ的最小σ-代数。 第三步：拓扑空间与博雷尔σ-代数的定义 当一个集合X上定义了一个拓扑τ（即指定了哪些子集是开集）时，我们称(X, τ)为一个拓扑空间。由这个拓扑τ中所有开集组成的集合系所生成的σ-代数，就称为X上的博雷尔σ-代数，记作B(X)或B。B(X)中的元素就称为X的博雷尔集。因此，博雷尔σ-代数是包含所有开集的最小σ-代数。根据σ-代数的性质，它也必然包含所有闭集（因为闭集是开集的补集）、所有开集的可数交（Gδ集）、所有闭集的可数并（Fσ集）等等。 第四步：具体例子与生成元的选取 以实数集R（配备其通常的欧几里得拓扑）为例。其博雷尔σ-代数B(R)非常庞大。重要的是，这样一个复杂的σ-代数可以由一些非常简单的集合系生成。例如，以下任意一个集合系都能生成B(R)： 所有开区间(a, b)的集合。 所有闭区间[ a, b ]的集合。 所有左开右闭区间(a, b ]的集合。 所有形如(-∞, q)的区间（其中q为有理数）的集合。 这表明，为了确定博雷尔σ-代数，我们并不需要处理所有开集，而只需要处理一个生成元即可，这在实际证明和构造中极大地简化了问题。 第五步：博雷尔σ代数的重要性与可测映射 博雷尔σ代数是实分析和概率论中最核心的概念之一。在分析学中，我们定义在拓扑空间上的测度（如勒贝格测度）其定义域通常就是博雷尔σ代数。在概率论中，一个随机变量就是一个从样本空间到实数集的可测映射，而这里实数集上的可测性正是相对于其博雷尔σ代数B(R)而言的。如果两个拓扑空间之间的函数f: X -> Y满足“Y中任何博雷尔集的原像f⁻¹(B)是X中的博雷尔集”，则称f为博雷尔可测函数。所有连续函数都是博雷尔可测的，因为开集的原像是开集，而博雷尔σ代数由开集生成。