图的厚度与厚度问题
字数 2095 2025-11-02 00:38:02

图的厚度与厚度问题

图的厚度是图论中衡量图“非平面性”的重要参数，它源于一个非常自然的想法：如果一个图不是平面图（即不能画在平面上使得边仅在顶点处相交），那么最少需要多少个平面图叠加以使得原图的每条边都出现在至少一个平面子图中？这个最少的平面子图的数量，就称为图的厚度，通常记为 θ(G)。

我们来一步步拆解这个概念。

第一步：从平面图到非平面图

  1. 平面图回顾：首先，我们明确什么是平面图。如果一个图G可以画在平面上，并且其任意两条边除了在公共顶点处外都不相交，那么G就是平面图。例如，一个树或一个最大度不超过4的平面网格都是平面图。
  2. 非平面图的挑战：但是，很多重要的图不是平面图，比如完全图K₅（5个顶点两两相连）和完全二分图K₃,₃（两个部分各有3个顶点，不同部分顶点两两相连）。根据库拉托夫斯基定理，这些图是“不可平面”的。
  3. 分解的思想：面对一个复杂的非平面图，数学家们的一个常用策略是“分解”。既然整个图无法无交叉地画在一个平面上，我们能否把它拆分成几个“更简单”的部分，使得每个部分都是平面图？这就引出了“厚度”的概念。这里的“更简单”特指“是平面图”。

第二步：厚度的精确定义

设 G = (V, E) 是一个简单无向图。

  1. 平面分解：图G的一个平面分解是指将它的边集E划分成若干个互不相交的子集 E₁, E₂, ..., Eₖ。每个子集 Eᵢ 所诱导的边子图 Gᵢ = (V, Eᵢ) 都是一个平面图。
    • 注意：这些平面子图 Gᵢ 共享同一个顶点集 V，但它们的边集是E的一个划分。
  2. 厚度：图G的厚度，记作 θ(G)，是满足上述条件的平面分解所需的最小子集个数k的最小值。即：
    θ(G) = min { k | G 有一个包含k个平面子图的平面分解 }。

第三步：理解定义的关键点与示例

  1. 平面图的厚度：如果一个图G本身就是平面图，那么它的所有边已经可以无交叉地画在一个平面上。因此，我们只需要一个平面子图（即G本身）就构成了一个平面分解。所以，对于任何平面图G，有 θ(G) = 1。
  2. 一个简单非平面图的例子：考虑完全图 K₅。
    • 我们知道 K₅ 不是平面图，所以 θ(K₅) > 1。
    • 能否用两个平面子图来覆盖K₅的所有边呢？答案是肯定的。我们可以将K₅的10条边巧妙地分成两组，每组5条边，使得每个组形成的子图都是平面图。
    • 既然一个平面子图不够（因为K₅非平面），而两个平面子图足够，那么根据定义，θ(K₅) = 2。
  3. “叠放”的直观解释：定义中“分解”的概念，可以想象成把原图G打印在k张透明的胶片上。第一张胶片上画着平面子图G₁的边，第二张上画着G₂的边，以此类推。当你把这k张胶片叠放在一起时，你就看到了完整的图G。厚度就是所需的最少胶片张数。

第四步：厚度的性质与界

厚度作为一个图参数，有一些基本的数学性质。

  1. 下界：厚度必然大于等于1。对于非平面图，厚度至少为2。
  2. 与边数的关系：一个非常重要的下界来源于平面图的性质。一个具有|V| = n个顶点和|E| = m条边的平面图，最多有 3n - 6 条边（当n≥3时）。因此，如果一个图被分解成了θ个平面子图，那么它的总边数m必须满足：
    m ≤ θ * (3n - 6)
    由此我们可以推出一个厚度的下界：
    θ(G) ≥ ⌈ m / (3n - 6) ⌉ （其中⌈⌉表示向上取整）。
    这个公式非常实用，可以快速估算一个图厚度的最小值。
  3. 与顶点数的关系：对于n个顶点的完全图Kₙ，其边数m = n(n-1)/2。代入上面的不等式，我们可以得到θ(Kₙ)的一个下界。同时，通过构造性的方法，我们可以证明对于n个顶点的图，厚度的一个上界大约是 ⌈ (n+7)/6 ⌉。这表明厚度随着顶点数的增加而缓慢增长。

第五步：厚度问题的计算复杂性与相关概念

  1. 计算难度：确定一个给定图G的厚度θ(G) 是一个计算上非常困难的问题。它被证明是NP-难问题。这意味着，不存在一个已知的高效算法（多项式时间算法）能对所有的图精确计算出其厚度。因此，研究大多集中在寻找厚度的上下界，或者针对某些特殊图类（如完全图、完全二分图、超立方体图等）确定其精确厚度。
  2. 相关概念：厚度是图的一种“叠加参数”。还有其他类似的参数，它们衡量的是将图分解成具有某种特定性质子图的最少数量。
    • ** Arboricity（荫度）**：将边集划分成的最少森林（无圈图）的数量。它衡量的是图的“稠密”程度。
    • 厚度：如上所述，关注的是“平面性”。
    • 书厚度：将顶点放在一条直线上（书脊），将边划分成若干页，每页的边可以画在半平面内且互不交叉。这模拟了将图“装订成书”。
    • 几何厚度：与厚度类似，但要求每个平面子图都是原图的直线段平面图（边用直线段画）。

总结来说，图的厚度是一个连接了图的可平面性、分解理论和极值图论的重要概念。它用一种量化的方式告诉我们，一个图距离“能被画在一个平面上”有多远——我们需要用最少几个平面来“铺开”它所有的边而不产生交叉。尽管精确计算困难，但对它的研究推动了我们对图的结构理解以及相关算法边界的研究。

图的厚度与厚度问题 图的厚度是图论中衡量图“非平面性”的重要参数，它源于一个非常自然的想法：如果一个图不是平面图（即不能画在平面上使得边仅在顶点处相交），那么最少需要多少个平面图叠加以使得原图的每条边都出现在至少一个平面子图中？这个最少的平面子图的数量，就称为图的厚度，通常记为 θ(G)。 我们来一步步拆解这个概念。 第一步：从平面图到非平面图 平面图回顾 ：首先，我们明确什么是平面图。如果一个图G可以画在平面上，并且其任意两条边除了在公共顶点处外都不相交，那么G就是平面图。例如，一个树或一个最大度不超过4的平面网格都是平面图。 非平面图的挑战 ：但是，很多重要的图不是平面图，比如完全图K₅（5个顶点两两相连）和完全二分图K₃,₃（两个部分各有3个顶点，不同部分顶点两两相连）。根据库拉托夫斯基定理，这些图是“不可平面”的。 分解的思想 ：面对一个复杂的非平面图，数学家们的一个常用策略是“分解”。既然整个图无法无交叉地画在一个平面上，我们能否把它拆分成几个“更简单”的部分，使得每个部分都是平面图？这就引出了“厚度”的概念。这里的“更简单”特指“是平面图”。 第二步：厚度的精确定义 设 G = (V, E) 是一个简单无向图。 平面分解 ：图G的一个 平面分解 是指将它的边集E划分成若干个互不相交的子集 E₁, E₂, ..., Eₖ。每个子集 Eᵢ 所诱导的边子图 Gᵢ = (V, Eᵢ) 都是一个平面图。 注意 ：这些平面子图 Gᵢ 共享同一个顶点集 V，但它们的边集是E的一个划分。 厚度 ：图G的 厚度 ，记作 θ(G)，是满足上述条件的平面分解所需的最小子集个数k的最小值。即： θ(G) = min { k | G 有一个包含k个平面子图的平面分解 }。 第三步：理解定义的关键点与示例 平面图的厚度 ：如果一个图G本身就是平面图，那么它的所有边已经可以无交叉地画在一个平面上。因此，我们只需要一个平面子图（即G本身）就构成了一个平面分解。所以，对于任何平面图G，有 θ(G) = 1。 一个简单非平面图的例子 ：考虑完全图 K₅。 我们知道 K₅ 不是平面图，所以 θ(K₅) > 1。 能否用两个平面子图来覆盖K₅的所有边呢？答案是肯定的。我们可以将K₅的10条边巧妙地分成两组，每组5条边，使得每个组形成的子图都是平面图。 既然一个平面子图不够（因为K₅非平面），而两个平面子图足够，那么根据定义，θ(K₅) = 2。 “叠放”的直观解释 ：定义中“分解”的概念，可以想象成把原图G打印在k张透明的胶片上。第一张胶片上画着平面子图G₁的边，第二张上画着G₂的边，以此类推。当你把这k张胶片叠放在一起时，你就看到了完整的图G。厚度就是所需的最少胶片张数。 第四步：厚度的性质与界 厚度作为一个图参数，有一些基本的数学性质。 下界 ：厚度必然大于等于1。对于非平面图，厚度至少为2。 与边数的关系 ：一个非常重要的下界来源于平面图的性质。一个具有|V| = n个顶点和|E| = m条边的平面图，最多有 3n - 6 条边（当n≥3时）。因此，如果一个图被分解成了θ个平面子图，那么它的总边数m必须满足： m ≤ θ * (3n - 6) 由此我们可以推出一个厚度的下界： θ(G) ≥ ⌈ m / (3n - 6) ⌉ （其中⌈⌉表示向上取整）。 这个公式非常实用，可以快速估算一个图厚度的最小值。 与顶点数的关系 ：对于n个顶点的完全图Kₙ，其边数m = n(n-1)/2。代入上面的不等式，我们可以得到θ(Kₙ)的一个下界。同时，通过构造性的方法，我们可以证明对于n个顶点的图，厚度的一个上界大约是 ⌈ (n+7)/6 ⌉。这表明厚度随着顶点数的增加而缓慢增长。 第五步：厚度问题的计算复杂性与相关概念 计算难度 ：确定一个给定图G的厚度θ(G) 是一个计算上非常困难的问题。它被证明是NP-难问题。这意味着，不存在一个已知的高效算法（多项式时间算法）能对所有的图精确计算出其厚度。因此，研究大多集中在寻找厚度的上下界，或者针对某些特殊图类（如完全图、完全二分图、超立方体图等）确定其精确厚度。 相关概念 ：厚度是图的一种“叠加参数”。还有其他类似的参数，它们衡量的是将图分解成具有某种特定性质子图的最少数量。 ** Arboricity（荫度）** ：将边集划分成的最少森林（无圈图）的数量。它衡量的是图的“稠密”程度。 厚度 ：如上所述，关注的是“平面性”。 书厚度 ：将顶点放在一条直线上（书脊），将边划分成若干页，每页的边可以画在半平面内且互不交叉。这模拟了将图“装订成书”。 几何厚度 ：与厚度类似，但要求每个平面子图都是原图的直线段平面图（边用直线段画）。 总结来说，图的厚度是一个连接了图的可平面性、分解理论和极值图论的重要概念。它用一种量化的方式告诉我们，一个图距离“能被画在一个平面上”有多远——我们需要用最少几个平面来“铺开”它所有的边而不产生交叉。尽管精确计算困难，但对它的研究推动了我们对图的结构理解以及相关算法边界的研究。