Lax-Milgram定理 我们先从线性代数中的一个基本概念出发。在线性代数中，我们知道，对于一个对称正定矩阵A，线性方程组Ax = b对任意向量b都有唯一解。这个结论可以推广到无限维的希尔伯特空间，但推广时需要解决两个关键问题：一是算子可能无界，二是对称性（即自伴性）的要求可能过强。Lax-Milgram定理就是处理这种非对称情形的强大工具。 第一步：理解核心对象——连续强制双线性形式 设H是一个实的希尔伯特空间（为简化讨论，我们考虑实空间，但定理可推广到复空间）。一个双线性形式a: H × H → ℝ 如果满足以下两个条件，则称为连续强制的： 连续性：存在常数M > 0，使得对所有u, v ∈ H，有 |a(u, v)| ≤ M||u|| ||v||。 强制性（或椭圆性）：存在常数α > 0，使得对所有v ∈ H，有 a(v, v) ≥ α||v||²。 这里的连续性保证了a是关于其两个变量的联合连续函数。强制性是关键，它意味着该形式在“对角线”上是正定的，并且控制着空间本身的范数。注意，a不一定是对称的，即a(u, v)不一定等于a(v, u)。 第二步：定理的陈述 Lax-Milgram定理：设a: H × H → ℝ 是希尔伯特空间H上的一个连续强制双线性形式。那么，对于H上任意一个有界线性泛函f ∈ H* （即H的对偶空间），存在唯一的元素u_ f ∈ H，使得对于所有v ∈ H，都满足以下方程： a(u_ f, v) = f(v) 此外，解u_ f连续依赖于f，并且满足估计||u_ f|| ≤ (1/α) ||f||_ {H* }。 第三步：定理的证明思路（关键步骤） 证明通常分为存在性和唯一性两部分。 唯一性：假设有两个解u1和u2。那么对于所有v，有a(u1, v) = a(u2, v)，即a(u1 - u2, v) = 0。令v = u1 - u2，利用强制性：0 = a(u1 - u2, u1 - u2) ≥ α||u1 - u2||²。由于α>0，这迫使||u1 - u2|| = 0，即u1 = u2。唯一性得证。 存在性：这是证明的核心。对每个固定的u ∈ H，映射v ↦ a(u, v) 是H上的一个有界线性泛函。根据里斯表示定理，存在H上的唯一一个元素，记为Au，使得对所有的v，有a(u, v) = <Au, v>（这里 <·, ·>是H的内积）。这样我们就定义了一个算子A: H → H。 可以证明A是有界线性算子（由a的连续性保证）。 更重要的是，a的强制性意味着A是正定且下方有界的： <Av, v> ≥ α||v||²。 证明的下一步是证明A是满射。这通常通过证明A的值域既稠密又是闭的来实现。值域的闭性可以利用A的下方有界性证明：如果{Au_ n}收敛于某个w，那么{Au_ n}是柯西列，由<A(u_ m - u_ n), u_ m - u_ n> ≥ α||u_ m - u_ n||²可知{u_ n}也是柯西列，从而收敛于某个u，再由A的连续性得Au = w。 既然f ∈ H* ，由里斯表示定理，存在唯一的g ∈ H使得f(v) = <g, v>对所有v成立。因为A是满射，存在唯一的u_ f使得Au_ f = g。因此，a(u_ f, v) = <Au_ f, v> = <g, v> = f(v)。存在性得证。 第四步：定理的意义与应用 Lax-Milgram定理的重要性在于它为非对称问题的适定性（存在性、唯一性、稳定性）提供了保证。 在偏微分方程理论中，它是证明线性椭圆型方程边值问题弱解存在唯一性的基石。例如，考虑泊松方程 -∆u = f，其对应的双线性形式a(u, v) = ∫∇u·∇v dx在合适的索伯列夫空间上是连续强制的，但不对称（实际上它是对称的，这是一个特例）。对于更一般的非对称椭圆方程，形式不再对称，但Lax-Milgram定理依然确保弱解的存在唯一性。 它是有限元方法的理论基础。加勒金方法的核心就是将微分方程转化为寻找一个双线性形式的解，Lax-Milgram定理为此提供了理论支撑。 第五步：与里斯表示定理的关系与区别 里斯表示定理指出，希尔伯特空间H上的每个有界线性泛函f都可以唯一地表示为与某个内积的形式。你可以将Lax-Milgram定理视为里斯表示定理的一种“加权”或“变形”。在里斯表示定理中，内积<·, ·>本身就是一个对称的连续强制双线性形式。Lax-Milgram定理将其推广到了一大类（可能是非对称的）双线性形式上。当双线性形式a是对称时，Lax-Milgram定理的解u_ f恰好就是关于由a诱导的新内积的里斯表示元。