哈尔测度的平移不变性 哈尔测度的平移不变性是其最核心和基本的性质。为了理解它，我们首先需要明确几个基本概念。 第一步：理解拓扑群 一个拓扑群 G 是一个同时具有群结构和拓扑结构的集合，并且这两种结构是相容的。相容性指的是群的两种运算——乘法运算 (x, y) -> x·y 和取逆运算 x -> x⁻¹ ——都是连续映射。 例子1 ：实数集 R，其上的加法运算构成群，并且我们赋予它通常的欧几里得拓扑。那么 (x, y) -> x+y 和 x -> -x 都是连续的。所以 (R, +) 是一个拓扑群。 例子2 ：n维欧几里得空间 Rⁿ，其上的向量加法构成群，同样赋予欧几里得拓扑。这也是一个拓扑群。 例子3 ：单位圆（所有模为1的复数）S¹，其上的乘法运算构成群，赋予从复数平面继承的子空间拓扑。这也是一个拓扑群。 第二步：理解“平移”操作 在拓扑群 G 上，我们可以定义左平移和右平移。 对于任意一个固定的元素 g ∈ G， 左平移 L_ g 是一个将 G 映射到 G 的函数，定义为：对于所有 h ∈ G，有 L_ g(h) = g·h。 类似地， 右平移 R_ g 定义为：R_ g(h) = h·g。 由于群的乘法是连续的，所以每个平移映射 L_ g 和 R_ g 都是 G 到自身的同胚（即连续的双射，且逆也连续）。 第三步：将平移作用在集合上 现在，我们考虑 G 的子集。对于一个子集 A ⊆ G，我们用 g 去左乘 A 中的每一个元素，得到一个新的集合： gA = { g·a | a ∈ A } 这个集合 gA 就是集合 A 在左平移 L_ g 下的像。类似地，可以定义右平移 Ag。 第四步：将平移作用在测度上 一个测度 μ 是给某些子集（称为可测集）分配一个非负的数（或无穷大），表示该集合的“大小”。 哈尔测度 μ 是定义在拓扑群 G 的博雷尔集上（由开集生成的 σ-代数）的一个测度，它满足两个关键条件： 局部紧致性 ：μ 对于紧集是有限的（即任何紧集的测度是一个有限实数）。 内正则性 ：对任何博雷尔集 E，有 μ(E) = sup{ μ(K) | K ⊆ E 且 K 紧致 }。 现在，我们引入 平移不变性 的核心定义。我们说哈尔测度 μ 是 左不变的 ，如果对于每一个群元素 g ∈ G 和每一个博雷尔可测集 A ⊆ G，都有： μ(gA) = μ(A) 这意味着，无论你把一个可测集 A 用左平移移动到群里的哪个位置（变成 gA），它的“大小”保持不变。类似地，可以定义 右不变 的哈尔测度。 第六步：理解其重要性——它是“体积”的自然推广 平移不变性是哈尔测度之所以重要的根本原因。在欧几里得空间 Rⁿ 中，我们熟悉的“体积”（长度、面积、体积）就是平移不变的：把一个物体从一个位置平移到另一个位置，它的体积不会改变。哈尔测度将“体积”这个概念推广到了任意的（局部紧致的）拓扑群上。例如，在圆群 S¹ 上，哈尔测度就是“弧长”；在矩阵群上，它就是该群上一种自然的“体积”度量。 第七步：左哈尔测度与右哈尔测度的关系 对于一个给定的局部紧致拓扑群 G，左哈尔测度（在相差一个正数乘数的意义下）是唯一存在的。但是，一个左哈尔测度不一定也是右哈尔测度。然而，它们之间通过一个称为 模函数 Δ(g) 的群同态紧密相关。具体来说，如果 μ 是一个左哈尔测度，那么通过公式 ν(A) = μ(Ag⁻¹) 定义的测度 ν 也是一个左哈尔测度。根据唯一性，ν 必须是 μ 的一个常数倍，即 ν = Δ(g) μ。这个函数 Δ(g) 就是模函数。如果模函数恒等于1，我们称群 G 是 幺模的 ，此时左哈尔测度同时也是右哈尔测度。所有的紧群、阿贝尔群和离散群都是幺模的。