\*谱映射定理\
字数 2165 2025-11-02 00:38:02

*谱映射定理*

谱映射定理是泛函分析中联系算子与函数演算的重要结果。它描述了对一个线性算子进行函数变换后，其谱集的变化规律。

第一步：理解线性算子的谱
设 \(X\) 是一个复巴拿赫空间，\(T: X \to X\) 是一个有界线性算子。算子 \(T\) 的谱，记作 \(\sigma(T)\)，是所有使得 \(\lambda I - T\) 不可逆（即不是双射或有界逆）的复数 \(\lambda\) 的集合。谱集分为三类：

  1. 点谱：\(\lambda I - T\) 不是单射（即存在非零 \(x\) 使得 \(Tx = \lambda x\)）。
  2. 连续谱：\(\lambda I - T\) 是单射、值域稠密，但逆无界。
  3. 剩余谱：\(\lambda I - T\) 是单射，但值域不稠密。

第二步：多项式函数作用于算子
给定一个多项式 \(p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0\)，可以定义算子 \(p(T) = a_n T^n + a_{n-1} T^{n-1} + \cdots + a_0 I\)。一个基本结论是：若 \(\lambda \in \sigma(T)\)，则 \(p(\lambda) \in \sigma(p(T))\)。这是因为若 \(\lambda\) 是特征值，则 \(p(\lambda)\) 是 \(p(T)\) 的特征值；若 \(\lambda I - T\) 不可逆但 \(p(\lambda) I - p(T)\) 可逆，会与多项式分解 \(p(\lambda) I - p(T) = (\lambda I - T) q(T)\) 矛盾。

第三步：推广到解析函数演算
通过复分析中的柯西积分公式，可以将函数演算从多项式推广到在 \(\sigma(T)\) 的邻域内解析的函数 \(f\)。定义 \(f(T) = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma f(z)(zI - T)^{-1} dz\)，其中 \(\Gamma\) 是包围 \(\sigma(T)\) 的闭合曲线。这确保了 \(f(T)\) 是一个良定义的有界线性算子。

第四步：谱映射定理的表述
设 \(f\) 在 \(\sigma(T)\) 的某个邻域内解析，则谱映射定理断言：

\[\sigma(f(T)) = f(\sigma(T)) \]

即 \(f(T)\) 的谱集恰好是 \(f\) 作用于 \(T\) 的谱集上的像。这意味着：

  • 若 \(\mu \in \sigma(f(T))\)，则存在某个 \(\lambda \in \sigma(T)\) 使得 \(\mu = f(\lambda)\)。
  • 反之，若 \(\lambda \in \sigma(T)\)，则 \(f(\lambda) \in \sigma(f(T))\)。

第五步：定理的证明思路

  1. 正向包含（\(f(\sigma(T)) \subseteq \sigma(f(T))\)）：若 \(\mu \notin \sigma(f(T))\)，则 \(\mu I - f(T)\) 可逆。通过函数演算的性质，可构造 \((f(z) - \mu)^{-1}\) 对应的算子，证明对任意满足 \(f(\lambda) = \mu\) 的 \(\lambda\)，有 \(\lambda I - T\) 可逆，故 \(\lambda \notin \sigma(T)\)。
  2. 反向包含（\(\sigma(f(T)) \subseteq f(\sigma(T))\)）：若 \(\mu \notin f(\sigma(T))\)，则函数 \(g(z) = (f(z) - \mu)^{-1}\) 在 \(\sigma(T)\) 上解析，可定义 \(g(T)\)。由函数演算的同态性质，\(g(T)\) 正是 \(\mu I - f(T)\) 的逆算子，故 \(\mu \notin \sigma(f(T))\)。

第六步：应用与意义

  • 特征值映射：若 \(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值，\(x\) 是对应特征向量，则 \(f(\lambda)\) 是 \(f(T)\) 的特征值，对应同一特征向量。
  • 谱半径计算：谱半径 \(r_\sigma(T) = \sup_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda|\)。定理表明 \(r_\sigma(f(T)) = \sup_{\lambda \in \sigma(T)} |f(\lambda)|\)。
  • 算子函数分析：为研究 \(e^{T}\)、\(\sin(T)\) 等算子函数的性质提供基础。

谱映射定理是连接算子理论与复分析的桥梁，在量子力学（如能量算子的函数变换）和微分方程求解中具有重要应用。

\*谱映射定理\* 谱映射定理是泛函分析中联系算子与函数演算的重要结果。它描述了对一个线性算子进行函数变换后，其谱集的变化规律。 第一步：理解线性算子的谱 设 \( X \) 是一个复巴拿赫空间，\( T: X \to X \) 是一个有界线性算子。算子 \( T \) 的谱，记作 \( \sigma(T) \)，是所有使得 \( \lambda I - T \) 不可逆（即不是双射或有界逆）的复数 \( \lambda \) 的集合。谱集分为三类： 点谱 ：\( \lambda I - T \) 不是单射（即存在非零 \( x \) 使得 \( Tx = \lambda x \)）。 连续谱 ：\( \lambda I - T \) 是单射、值域稠密，但逆无界。 剩余谱 ：\( \lambda I - T \) 是单射，但值域不稠密。 第二步：多项式函数作用于算子 给定一个多项式 \( p(z) = a_ n z^n + a_ {n-1} z^{n-1} + \cdots + a_ 0 \)，可以定义算子 \( p(T) = a_ n T^n + a_ {n-1} T^{n-1} + \cdots + a_ 0 I \)。一个基本结论是：若 \( \lambda \in \sigma(T) \)，则 \( p(\lambda) \in \sigma(p(T)) \)。这是因为若 \( \lambda \) 是特征值，则 \( p(\lambda) \) 是 \( p(T) \) 的特征值；若 \( \lambda I - T \) 不可逆但 \( p(\lambda) I - p(T) \) 可逆，会与多项式分解 \( p(\lambda) I - p(T) = (\lambda I - T) q(T) \) 矛盾。 第三步：推广到解析函数演算 通过复分析中的柯西积分公式，可以将函数演算从多项式推广到在 \( \sigma(T) \) 的邻域内解析的函数 \( f \)。定义 \( f(T) = \frac{1}{2\pi i} \int_ \Gamma f(z)(zI - T)^{-1} dz \)，其中 \( \Gamma \) 是包围 \( \sigma(T) \) 的闭合曲线。这确保了 \( f(T) \) 是一个良定义的有界线性算子。 第四步：谱映射定理的表述 设 \( f \) 在 \( \sigma(T) \) 的某个邻域内解析，则谱映射定理断言： \[ \sigma(f(T)) = f(\sigma(T)) \] 即 \( f(T) \) 的谱集恰好是 \( f \) 作用于 \( T \) 的谱集上的像。这意味着： 若 \( \mu \in \sigma(f(T)) \)，则存在某个 \( \lambda \in \sigma(T) \) 使得 \( \mu = f(\lambda) \)。 反之，若 \( \lambda \in \sigma(T) \)，则 \( f(\lambda) \in \sigma(f(T)) \)。 第五步：定理的证明思路 正向包含 （\( f(\sigma(T)) \subseteq \sigma(f(T)) \)）：若 \( \mu \notin \sigma(f(T)) \)，则 \( \mu I - f(T) \) 可逆。通过函数演算的性质，可构造 \( (f(z) - \mu)^{-1} \) 对应的算子，证明对任意满足 \( f(\lambda) = \mu \) 的 \( \lambda \)，有 \( \lambda I - T \) 可逆，故 \( \lambda \notin \sigma(T) \)。 反向包含 （\( \sigma(f(T)) \subseteq f(\sigma(T)) \)）：若 \( \mu \notin f(\sigma(T)) \)，则函数 \( g(z) = (f(z) - \mu)^{-1} \) 在 \( \sigma(T) \) 上解析，可定义 \( g(T) \)。由函数演算的同态性质，\( g(T) \) 正是 \( \mu I - f(T) \) 的逆算子，故 \( \mu \notin \sigma(f(T)) \)。 第六步：应用与意义 特征值映射 ：若 \( \lambda \) 是 \( T \) 的特征值，\( x \) 是对应特征向量，则 \( f(\lambda) \) 是 \( f(T) \) 的特征值，对应同一特征向量。 谱半径计算 ：谱半径 \( r_ \sigma(T) = \sup_ {\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| \)。定理表明 \( r_ \sigma(f(T)) = \sup_ {\lambda \in \sigma(T)} |f(\lambda)| \)。 算子函数分析 ：为研究 \( e^{T} \)、\( \sin(T) \) 等算子函数的性质提供基础。 谱映射定理是连接算子理论与复分析的桥梁，在量子力学（如能量算子的函数变换）和微分方程求解中具有重要应用。