复变函数的无穷乘积展开 无穷乘积展开是复变函数论中表示整函数的重要方法。我们先从最基础的概念开始。 1. 无穷乘积的基本概念 无穷乘积形式为 ∏(1+aₙ)，其收敛性定义为部分乘积的极限存在且非零。这与级数∑aₙ的收敛不同，因为乘积收敛要求极限不能为零。为此，我们常将函数表示为 ∏(1+uₙ(z))e^{pₙ(z)} 的形式，其中指数因子pₙ(z)的作用是保证乘积收敛。 2. 魏尔斯特拉斯因子分解定理 该定理指出：任何整函数f(z)都可以表示为 f(z) = z^m e^{g(z)} ∏(1 - z/zₙ)exp[ z/zₙ + (z/zₙ)²/2 + ... + (z/zₙ)^{kₙ}/kₙ ] 其中{zₙ}是f的零点序列，g(z)是某个整函数，指数kₙ的选择保证乘积收敛。特别地，当f没有零点时，就退化为f(z) = e^{g(z)}。 3. 正弦函数的无穷乘积展开 一个经典例子是 sin(πz)的展开： sin(πz) = πz ∏(1 - z²/n²) 这个展开清晰地显示出sin(πz)在z=0,±1,±2,...处的零点分布，且乘积在整个复平面上一致收敛。 4. 收敛性控制与典型乘积 对于零点分布较稀疏的情况，我们可以选择较小的kₙ；对于密集零点，则需要更多指数项来保证收敛。典型乘积是指数项选择最经济的无穷乘积，其收敛性由零点密度决定。 5. 与泰勒展开的关系 无穷乘积展开揭示了函数的零点信息，而泰勒展开展示的是函数在一点各阶导数的信息。两者互为补充，共同刻画整函数的解析性质。